Calcule as integrais triplas para o sólido limitado pelos objetos listados abaixo e para a apontada:
(1.4) cilindro , plano e cone
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla da função sobre um sólido . Esse sólido é limitado pelo cilindro , pelo plano (que é onde ) e pelo cone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a simetria do sólido facilita os cálculos nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos transformar tudo para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
E a função vira simplesmente .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
: Varia de 0 até 1, já que o cilindro é .
: Varre todo o círculo, de 0 a .
: Vai do plano (onde ) até o cone .
Passo 4
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, o termo extra vem do jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Substituindo , a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar em relação a primeiro:
Passo 7
Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 3r^3 , dr , dtheta
Integrando em relação a integral0^1 3r^3 , dr = 3 cdot r^44 |0^1 = 34 :
Passo 8
Por fim, integrando em relação a integral0^2pi 34 , dtheta = 34 cdot 2pi = 32 pi :