Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.4) cilindro x^2+y^2=1, plano x y e cone z=3 raizx^2+y^2 ; f(x, y, z)=raizx^2+y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral tripla da função sobre um sólido . Esse sólido é limitado pelo cilindro , pelo plano (que é onde ) e pelo cone . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a simetria do sólido facilita os cálculos nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar tudo para coordenadas cilíndricas. Lembrando que:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E a função vira simplesmente .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • : Varia de 0 até 1, já que o cilindro é .
  • : Varre todo o círculo, de 0 a .
  • : Vai do plano (onde ) até o cone .

Passo 4

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral0^2pi integral0^1 integral0^3r f(r) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, o termo extra vem do jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Substituindo integral0^2pi integral0^1 integral0^3r r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 integral0^3r r^2 , dz , dr , dtheta , a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar em relação a integral0^3r r^2 , dz = r^2 cdot z |0^3r = r^2 cdot 3r = 3r^3 primeiro:

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 3r^3 , dr , dtheta
Integrando em relação a integral0^1 3r^3 , dr = 3 cdot r^44 |0^1 = 34 :

Passo 8

Por fim, integrando em relação a integral0^2pi 34 , dtheta = 34 cdot 2pi = 32 pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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