Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a EDO
é exata. Se não for, temos que tentar torná-la exata usando fatores integrantes e, depois, encontrar a solução da EDO. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o conceito de exatidão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar ou corrigir uma que não é.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a EDO por ele, torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende somente de
ou somente de
.
Vamos tentar um fator integrante que depende de
. Chamemos esse fator de
. Multiplicando a EDO por
, temos:
Para que a nova EDO seja exata, deve valer:
Calculando:
Igualando:
Simplificando:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Passo 5
Agora, multiplicamos a EDO original por
:
Simplificando:
Vamos chamar
e
.
Passo 6
Agora, verificamos se a EDO modificada é exata:
Como
, a equação é exata agora.
Passo 7
Para resolver a EDO exata
, encontramos uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
onde
é uma função de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Como a EDO é igual a zero, temos:
onde
é uma constante.
Passo 9
Resumindo, a solução geral da EDO
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.4) cilindro , plano
e cone
(1.4) cilindro
Considere a função dada por:
Calcule
e
. Analise a diferenciabilidade
em
.
Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos e
, sendo a densidade
para
, e a densidade
para
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos
Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (parte interna) e pelo cone
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro