Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-y dx + x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a EDO é exata. Se não for, temos que tentar torná-la exata usando fatores integrantes e, depois, encontrar a solução da EDO. O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e o conceito de exatidão. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar ou corrigir uma que não é.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a EDO não é exata.

Passo 4

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, quando multiplicarmos a EDO por ele, torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende somente de ou somente de .
Vamos tentar um fator integrante que depende de . Chamemos esse fator de . Multiplicando a EDO por , temos:
Para que a nova EDO seja exata, deve valer:
Calculando:
Igualando:
Simplificando:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher para simplificar, então:

Passo 5

Agora, multiplicamos a EDO original por :
Simplificando:
Vamos chamar e .

Passo 6

Agora, verificamos se a EDO modificada é exata:
Como , a equação é exata agora.

Passo 7

Para resolver a EDO exata , encontramos uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
onde é uma função de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Como a EDO é igual a zero, temos:
onde é uma constante.

Passo 9

Resumindo, a solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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