Quais o máximo e o mínimo da raiz cúbica do produto de três números se a soma destes três números seja igual a 8 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três números que, quando somados, dão 8. Queremos descobrir qual é o maior e o menor valor possível para a raiz cúbica do produto desses três números. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como maximizar e minimizar produtos com certas condições, usando álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os três números como
,
e
. Sabemos que:
E queremos encontrar o máximo e o mínimo de:
Mas, para facilitar, vamos focar em maximizar e minimizar o produto
, já que a raiz cúbica é uma função que aumenta com o produto.
Passo 3
Para maximizar o produto
com a condição
, podemos usar a ideia de que, para um produto máximo com soma fixa, os números devem ser iguais. Então, vamos supor que
.
Passo 4
Se
, então:
Então, cada número é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto:
E a raiz cúbica desse produto é:
Então, o valor máximo da raiz cúbica do produto é
.
Passo 6
Agora, para encontrar o mínimo, vamos pensar em quais valores de
,
e
podem tornar o produto
o menor possível. Se um dos números for zero, o produto todo será zero, que é o mínimo possível para o produto.
Passo 7
Por exemplo, se
, então temos:
E o produto:
Portanto, a raiz cúbica desse produto também será zero.
Resposta
O máximo da raiz cúbica do produto dos três números é
e o mínimo é
.