Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos e , sendo a densidade para , e a densidade para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar a massa de um paralelepípedo que está limitado pelos planos , , , , e . A densidade desse sólido varia dependendo do valor de :
Para , a densidade .
Para , a densidade .
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para calcular a massa total desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de um sólido pode ser calculada integrando a função densidade sobre todo o volume do sólido. Matematicamente, isso é representado por:
Como a densidade varia dependendo do intervalo de , vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a cada intervalo de .
Passo 3
Vamos calcular a massa para a primeira parte, onde e . A integral fica:
Resolvendo a integral em ordem , , :
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa para a segunda parte, onde e . A integral fica:
Resolvendo a integral em ordem , , :
Resposta
Somando as duas partes, a massa total do paralelepípedo é:
Portanto, a massa do sólido é 18 unidades de massa.