Determine a massa dos seguintes sólidos:
(4.1) paralelepípedo limitado pelos planos x=0, x=1, y=0, y=2, z=0 e z = 3, sendo a densidade sigma(x, y, z) = 1 para 0 <= y <= 1, e a densidade sigma(x, y, z) = x + 1 para 1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar a massa de um paralelepípedo que está limitado pelos planos , , , , e . A densidade desse sólido varia dependendo do valor de :
  • Para , a densidade .
  • Para , a densidade .
Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, para calcular a massa total desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa de um sólido pode ser calculada integrando a função densidade sobre todo o volume do sólido. Matematicamente, isso é representado por:
Como a densidade varia dependendo do intervalo de , vamos dividir a integral em duas partes correspondentes a cada intervalo de .

Passo 3

Vamos calcular a massa para a primeira parte, onde e . A integral fica:
Resolvendo a integral em ordem , , :

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa para a segunda parte, onde e . A integral fica:
Resolvendo a integral em ordem , , :

Resposta

Somando as duas partes, a massa total do paralelepípedo é:
Portanto, a massa do sólido é 18 unidades de massa.

Exercícios relacionados

Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-y dx + x dy = 0
Calcule as integrais triplas integral duplaU integral f(x, y, z) d x d y d z para o sólido U limitado pelos objetos listados abaixo e para a f apontada:
(1.4) cilindro x^2+y^2=1, plano x y e cone z=3 raizx^2+y^2 ; f(x, y, z)=raizx^2+y^2
Indique com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais iteradas que calculam:
(6.2) a ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (x-1)² + y² = 1 (parte interna) e pelo cone z^2 = (x^2 + y^2) / 4
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(2 x)(2 cos y dx - sen y dy) = 0, y(0) = 0