Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente e :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral de usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções, escolhendo bem quais partes usar. Para isso, vamos precisar identificar quais são e na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . A regra geral é escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte restante. Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Derivando :
E para encontrar , integramos :
Sabemos que , então aplicando a substituição :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Sabemos que , então aplicando isso com :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando:

Resposta

A integral de é:

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