Calcule as integrais usando integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v : integral t sec ^2(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral de usando integração por partes. Integração por partes é uma técnica que ajuda a integrar produtos de funções, escolhendo bem quais partes usar. Para isso, vamos precisar identificar quais são e na nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será u = t e dv = sec^2(2t) , dt e o que será . A regra geral é escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte restante. Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dt e v = integral sec^2(2t) , dt . Derivando v = 12 tan(2t) :
E para encontrar , integramos :
Sabemos que , então aplicando a substituição :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral t sec^2(2t) , dt = t ( 12 tan(2t) ) - integral 12 tan(2t) , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= t2 tan(2t) - 12 integral tan(2t) , dt
Sabemos que integral tan(2t) , dt = -12 ln|cos(2t)| + C , então aplicando isso com :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= t2 tan(2t) - 12 ( -12 ln|cos(2t)| ) + C
Simplificando:
= t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C

Resposta

A integral de t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C é:

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