Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente na parte de integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz, e também vamos desenhar um triângulo retângulo que vai ajudar na substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da integral: . Isso se parece com a identidade trigonométrica . Para fazer a substituição, vamos definir . Isso vai transformar a expressão em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferencial . Se , então . Vamos substituir isso na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original . Lembrando que fizemos , podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é , o cateto adjacente é , e a hipotenusa é . Assim, .

Passo 7

Substituindo de volta na expressão, temos:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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