Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente na parte de integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz, e também vamos desenhar um triângulo retângulo que vai ajudar na substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da integral:
. Isso se parece com a identidade trigonométrica
. Para fazer a substituição, vamos definir
. Isso vai transformar a expressão
em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferencial
. Se
, então
. Vamos substituir isso na nossa integral original.
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original
. Lembrando que fizemos
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é
, o cateto adjacente é
, e a hipotenusa é
. Assim,
.
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão, temos:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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e
: