Calcule as integrais usando substituição trigonométrica e esboce o triângulo retângulo associado: integral 1(a^2+x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral integral 1(a^2+x^2)^3 / 2 dx usando substituição trigonométrica. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente na parte de integrais que envolvem funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz, e também vamos desenhar um triângulo retângulo que vai ajudar na substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da integral: a^2 + x^2. Isso se parece com a identidade trigonométrica 1 + tan^2theta = sec^2theta. Para fazer a substituição, vamos definir x = a tantheta. Isso vai transformar a expressão a^2 + x^2 em a^2 + a^2tan^2theta = a^2(1 + tan^2theta) = a^2sec^2theta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferencial dx. Se x = a tantheta, então dx = a sec^2theta dtheta. Vamos substituir isso na nossa integral original.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral 1(a^2 + x^2)^3/2 dx = integral 1(a^2sec^2theta)^3/2 cdot a sec^2theta dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
(a^2sec^2theta)^3/2 = a^3 sec^3theta
Então, a integral fica:
integral a sec^2thetaa^3 sec^3theta dtheta = integral 1a^2 sectheta dtheta = 1a^2 integral costheta dtheta

Passo 5

A integral de costheta em relação a theta é sintheta, então:
1a^2 integral costheta dtheta = 1a^2 sintheta + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original x. Lembrando que fizemos x = a tantheta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto é x, o cateto adjacente é a, e a hipotenusa é raiza^2 + x^2. Assim, sintheta = xraiza^2 + x^2.

Passo 7

Substituindo sintheta de volta na expressão, temos:
1a^2 sintheta + C = 1a^2 cdot xraiza^2 + x^2 + C = xa^2 raiza^2 + x^2 + C

Resposta

A integral integral 1(a^2+x^2)^3 / 2 d x é igual a xa^2 raiza^2 + x^2 + C, onde C é a constante de integração.

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