Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções são contínuas em seus respectivos intervalos usando a definição de continuidade e propriedades de limites. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites e continuidade. Para resolver, vamos precisar lembrar da definição de continuidade em um ponto e como calcular limites de funções.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
, no intervalo
.
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um intervalo se ela for contínua em todos os pontos desse intervalo. A definição de continuidade em um ponto
é que:
Então, precisamos verificar se
satisfaz essa condição para todo
no intervalo
.
Passo 3
Para a função
, o denominador
não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. No intervalo
,
nunca é zero porque
. Portanto, a função está definida em todo o intervalo.
Passo 4
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de qualquer ponto
no intervalo
:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, o que satisfaz a definição de continuidade.
Passo 5
Portanto, a função
é contínua em todo o intervalo
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b):
, no intervalo
.
Mais uma vez, queremos mostrar que
é contínua em todo o intervalo dado.
Passo 7
Primeiro, observamos que a função
está definida somente quando
, ou seja,
. Isso se alinha com o intervalo
, garantindo que a função está definida em todo o intervalo.
Passo 8
Agora, vamos verificar o limite de
quando
se aproxima de qualquer ponto
no intervalo
:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, atendendo à definição de continuidade.
Passo 9
Além disso, sabemos que a raiz quadrada é uma função contínua onde está definida, e multiplicar por uma constante (no caso, 2) também preserva a continuidade. Portanto,
é contínua em todo o intervalo
.
Resposta
Ambas as funções
no intervalo
e
no intervalo
são contínuas nos respectivos intervalos dados.
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Calcule.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(k)
(1)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(k)
(1)
Resolva as seguintes equações diferenciais, por separação de variáveis. Verifique nos itens
e
se as soluções encontradas estão corretas.
c)
c)
Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)