Use a definição da continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que duas funções são contínuas em seus respectivos intervalos usando a definição de continuidade e propriedades de limites. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites e continuidade. Para resolver, vamos precisar lembrar da definição de continuidade em um ponto e como calcular limites de funções.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): , no intervalo .
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um intervalo se ela for contínua em todos os pontos desse intervalo. A definição de continuidade em um ponto é que:
Então, precisamos verificar se satisfaz essa condição para todo no intervalo .

Passo 3

Para a função , o denominador não pode ser zero, pois isso tornaria a função indefinida. No intervalo , nunca é zero porque . Portanto, a função está definida em todo o intervalo.

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de qualquer ponto no intervalo :
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é igual a , o que satisfaz a definição de continuidade.

Passo 5

Portanto, a função é contínua em todo o intervalo .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): , no intervalo .
Mais uma vez, queremos mostrar que é contínua em todo o intervalo dado.

Passo 7

Primeiro, observamos que a função está definida somente quando , ou seja, . Isso se alinha com o intervalo , garantindo que a função está definida em todo o intervalo.

Passo 8

Agora, vamos verificar o limite de quando se aproxima de qualquer ponto no intervalo :
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é igual a , atendendo à definição de continuidade.

Passo 9

Além disso, sabemos que a raiz quadrada é uma função contínua onde está definida, e multiplicar por uma constante (no caso, 2) também preserva a continuidade. Portanto, é contínua em todo o intervalo .

Resposta

Ambas as funções no intervalo e no intervalo são contínuas nos respectivos intervalos dados.

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