Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:
integral arccotg 2 x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de em relação a arccot(2x), utilizando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrar uma delas enquanto diferenciamos a outra. Para resolver isso, vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes:
x

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual parte da nossa integral será u e qual será dv. Uma boa estratégia é escolher u como a função que se simplifica ao derivarmos. Nesse caso, vamos escolher:
u = arccot(2x)

Passo 3

Agora, vamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v.
Derivando u:
Integrando du = ddx[arccot(2x)] , dx = -21 + (2x)^2 , dx = -21 + 4x^2 , dx :
dv

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Vamos resolver a integral restante integral x1 + 4x^2 dx. Para isso, usamos uma substituição simples. Seja w = 1 + 4x^2, então:
dw = 8x , dx Rightarrow dw8 = x , dx
Substituindo na integral:
2 integral x1 + 4x^2 dx = 2 cdot 18 integral 1w dw = 14 ln|w| + C = 14 ln(1 + 4x^2) + C

Resposta

Portanto, a integral de em relação a arccot(2x) é:

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