Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:
integral x ln 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular a integral de usando o método de integração por partes. Esse método é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes para seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . A escolha certa facilita a resolução. Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(3x) e dv = x , dx
Agora, vamos encontrar du = ddx [ln(3x)] , dx = 13x cdot 3 , dx = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 :
Derivando :
Integrando para encontrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln(3x) , dx = ln(3x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 5

Agora, juntamos tudo:
integral x ln(3x) , dx = x^22 ln(3x) - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x ln(3x) , dx = x^22 ln(3x) - x^24 + C

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