Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:
integral ln (1-x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e precisamos escolher qual parte será e qual será para facilitar a integração. Para isso, vamos lembrar da fórmula de integração por partes e saber derivar e integrar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes u = ln(1 - x) e dv = dx . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar. Aqui, vamos deixar:
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx ln(1 - x) , dx = -11 - x , dx e v = integral dx = x . Para , derivamos em relação a :
Para , integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(1 - x) , dx = x ln(1 - x) - integral x ( -11 - x ) dx

Passo 5

Simplificamos a integral resultante:
integral ln(1 - x) , dx = x ln(1 - x) + integral x1 - x , dx

Passo 6

Para resolver x1 - x = (1 - x) + (x)1 - x = -1 + 11 - x , fazemos uma simplificação algébrica:
integral x1 - x , dx = integral ( -1 + 11 - x ) dx = -x - ln|1 - x| + C
Então,

Passo 7

Substituímos de volta na expressão anterior:
integral ln(1 - x) , dx = x ln(1 - x) + (-x - ln|1 - x|) + C
= (x + 1) ln(1 - x) + x + C

Resposta

integral ln(1 - x) , dx = (x + 1) ln(1 - x) + x + C

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