Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicá-la em potências de cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é útil quando precisamos integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, temos que escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
No nosso caso, temos
, que podemos escrever como
. Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral que sobrou. Sabemos que
. Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos reescrever a expressão completa:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Ou seja:
Passo 8
Agora, vamos resolver
:
Substituindo de volta:
Passo 9
Finalmente, isolamos a integral:
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais simples:
Resposta
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