Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicá-la em potências de cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é útil quando precisamos integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
Aqui, temos que escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos , que podemos escrever como . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral que sobrou. Sabemos que . Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos reescrever a expressão completa:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Ou seja:

Passo 8

Agora, vamos resolver :
Substituindo de volta:

Passo 9

Finalmente, isolamos a integral:
Podemos fatorar para deixar a expressão mais simples:

Resposta

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