Calcule as integrais utilizando o método de integração por partes:
integral cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente na integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é integração por partes e como aplicá-la em potências de cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é útil quando precisamos integrar o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, temos que escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos u = cos^2 x e dv = cos x , dx , que podemos escrever como . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx(cos^2 x) , dx = 2 cos x cdot (-sin x) , dx = -2 cos x sin x , dx :
v = integral cos x , dx = sin x
E calculando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral cos^3 x , dx = u cdot v - integral v cdot du = cos^2 x cdot sin x - integral sin x cdot (-2 cos x sin x) , dx
Simplificando:
integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x + 2 integral cos x sin^2 x , dx

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral que sobrou. Sabemos que 2 integral cos x sin^2 x , dx = 2 integral cos x (1 - cos^2 x) , dx = 2 integral cos x , dx - 2 integral cos^3 x , dx . Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos reescrever a expressão completa:
integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x + 2 integral cos x , dx - 2 integral cos^3 x , dx
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
integral cos^3 x , dx + 2 integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x + 2 integral cos x , dx
Ou seja:
3 integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x + 2 integral cos x , dx

Passo 8

Agora, vamos resolver integral cos x , dx = sin x + C :
3 integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x + 2 sin x + C
Substituindo de volta:

Passo 9

Finalmente, isolamos a integral:
integral cos^3 x , dx = cos^2 x sin x3 + 2 sin x3 + C
Podemos fatorar integral cos^3 x , dx = sin x (2 + cos^2 x)3 + C para deixar a expressão mais simples:

Resposta

integral cos^3 x , dx = sin x (2 + cos^2 x)3 + C

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