Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(k) integral x e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x cdot e^-x^2 , dx usando o método da substituição. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Observamos que a função e^-x^2 contém uma expressão no expoente que, ao derivarmos, envolve o x que está multiplicando. Isso sugere que podemos usar uma substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos definir u = -x^2. Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
du = -2x , dx

Passo 4

Queremos expressar x , dx em termos de du. Isolando x , dx na equação acima:
x , dx = -12 , du

Passo 5

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x cdot e^-x^2 , dx = integral e^u cdot (-12 , du) = -12 integral e^u , du

Passo 6

Agora, integramos e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Então, temos:
-12 e^u + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = -x^2 de volta na expressão:
-12 e^-x^2 + C

Resposta

A integral é igual a - dfrac12 e^-x^2 + C.

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