Calcule as integrais integral cos ^4 x sen^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função seno com expoente ímpar para facilitar a substituição. Sabemos que . Usando a identidade trigonométrica , podemos transformar :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição. Vamos definir u = cos x. Assim, a derivada de u em relação a x é:
Substituindo na integral:
Podemos tirar o sinal negativo para simplificar:
dudx = -sen x Rightarrow du = -sen x , dx Rightarrow -du = sen x , dx

Passo 4

Vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Multiplicando isso por u^4:
u^4 cdot (1 - 2u^2 + u^4) = u^4 - 2u^6 + u^8
Então, a integral se torna:
- integral (u^4 - 2u^6 + u^8) , du

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
- ( integral u^4 , du - 2 integral u^6 , du + integral u^8 , du )
Calculando cada integral:
integral u^4 , du = u^55 integral u^6 , du = u^77 integral u^8 , du = u^99
Substituindo de volta:
- ( u^55 - 2 cdot u^77 + u^99 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u = cos x de volta na expressão:
- ( cos^5 x5 - 2cos^7 x7 + cos^9 x9 ) + C
Pode-se distribuir o sinal negativo:
- cos^5 x5 + 2cos^7 x7 - cos^9 x9 + C

Resposta

A integral é igual a:
integral cos^4 x , sen^5 x , dx
onde - cos^5 x5 + 2cos^7 x7 - cos^9 x9 + C é a constante de integração.

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