Calcule a integral ∫0 a Pi ∫ 0 a x xcos(y)dydx.
a) Pi /3
b) Pi /2
c) 2Pi
d) Pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: integral0^pi integral0^x x cos(y) , dy , dx. A matéria envolvida é o cálculo integral, mais especificamente integração dupla, e vamos precisar conhecer funções trigonométricas básicas. Vamos passo a passo para ficar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla. Nesse caso, temos que integrar a função x cos(y) primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função x cos(y) em relação a y, tratando x como uma constante. A integral de cos(y) em relação a y é sin(y). Então:
integral x cos(y) , dy = x sin(y) + C

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral de y = 0 até y = x:
x sin(y) |0^x = x sin(x) - x sin(0) = x sin(x) - 0 = x sin(x)

Passo 5

Com o resultado da integral interna, agora vamos integrar em relação a x:
integral0^pi x sin(x) , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)
Aplicando a fórmula:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de x = 0 até x = pi:
[ -x cos(x) + sin(x) ]0^pi = [ -pi cos(pi) + sin(pi) ] - [ -0 cos(0) + sin(0) ]
Sabemos que cos(pi) = -1, sin(pi) = 0, cos(0) = 1, e sin(0) = 0. Substituindo:
= [ -pi (-1) + 0 ] - [ 0 + 0 ] = pi - 0 = pi

Resposta

A resposta correta é a letra d) pi.

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