Calcule a integral ∫0 a Pi ∫ 0 a x xcos(y)dydx.
a) Pi /3
b) Pi /2
c) 2Pi
d) Pi
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que a gente tem aqui: . A matéria envolvida é o cálculo integral, mais especificamente integração dupla, e vamos precisar conhecer funções trigonométricas básicas. Vamos passo a passo para ficar tudo claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla. Nesse caso, temos que integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 3
Vamos começar integrando a função em relação a , tratando como uma constante. A integral de em relação a é . Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral de até :
Passo 5
Com o resultado da integral interna, agora vamos integrar em relação a x:
integral0^pi x sin(x) , dx
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = xRightarrowdu = dx
dv = sin(x) , dxRightarrowv = -cos(x)
Aplicando a fórmula:
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão de x = 0 até x = pi: