De exemplo de matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com a matriz 0 1 - 2 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente exemplificar matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com a matriz 0 & 1 -2 & 0 . Isso tá ligado à matéria de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e a propriedade de comutatividade. Pra resolver, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem e como encontrar condições para que isso aconteça.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes A e B comutam se AB = BA. No nosso caso, A = 0 & 1 -2 & 0 e queremos encontrar uma matriz B = a & b c & d que satisfaça AB = BA.

Passo 3

Vamos calcular AB e BA separadamente. Primeiro, calculando AB:
AB = 0 & 1 -2 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d -2 cdot a + 0 cdot c & -2 cdot b + 0 cdot d = c & d -2a & -2b

Passo 4

Agora, calculando BA:
BA = a & b c & d 0 & 1 -2 & 0 = a cdot 0 + b cdot (-2) & a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot (-2) & c cdot 1 + d cdot 0 = -2b & a -2d & c

Passo 5

Para que AB = BA, as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos correspondentes:
c = -2b d = a -2a = -2d -2b = c

Passo 6

Analisando essas equações:
  1. c = -2b
  2. d = a
  3. -2a = -2d (que simplifica para a = d)
  4. -2b = c (que é a mesma que a primeira equação)
Isso nos mostra que para qualquer valor de a e b, escolher c = -2b e d = a faz com que AB = BA.

Resposta

Então, uma matriz B que comuta com A = 0 & 1 -2 & 0 tem a forma:
B = a & b -2b & a
Por exemplo, se escolhermos a = 1 e b = 0, temos:
B = 1 & 0 0 & 1
Essa matriz comuta com A. Você pode escolher outros valores para a e b e seguir a mesma estrutura para encontrar mais exemplos!

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