De exemplo de matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com a matriz 0 1 - 2 0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente exemplificar matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com a matriz . Isso tá ligado à matéria de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e a propriedade de comutatividade. Pra resolver, vamos precisar entender o que significa duas matrizes comutarem e como encontrar condições para que isso aconteça.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes comutarem. Duas matrizes e comutam se . No nosso caso, e queremos encontrar uma matriz que satisfaça .
Passo 3
Vamos calcular e separadamente. Primeiro, calculando :
Passo 4
Agora, calculando :
Passo 5
Para que , as duas matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos os elementos correspondentes:
Passo 6
Analisando essas equações:
c = -2b
d = a
-2a = -2d (que simplifica para a = d)
-2b = c (que é a mesma que a primeira equação)
Isso nos mostra que para qualquer valor de a e b, escolher c = -2b e d = a faz com que AB = BA.
Resposta
Então, uma matriz B que comuta com A = 0 & 1 -2 & 0 tem a forma:
B = a & b -2b & a
Por exemplo, se escolhermos a = 1 e b = 0, temos:
B = 1 & 0 0 & 1
Essa matriz comuta com A. Você pode escolher outros valores para a e b e seguir a mesma estrutura para encontrar mais exemplos!