Calcule a integral , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral
onde
e é um retângulo com vértices em e , orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver isso. Precisamos identificar os polos de que estão dentro do contorno e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão os polos de . Os polos ocorrem nos pontos onde o denominador de é zero:
  1. (de multiplicidade 2),
  2. (de multiplicidade 2),
  3. (de multiplicidade 1).

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do retângulo . O retângulo tem vértices em e , ou seja, cobre a região onde a parte real de varia de a e a parte imaginária de varia de a .
  • Para : Parte real é (dentro de a ), mas a parte imaginária é (fora de a ). Fora da .
  • Para : Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da .
  • Para : Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da .
Portanto, apenas e estão dentro de .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos de nos pontos e .
Para :
Como é uma raiz de multiplicidade 2, precisamos usar a fórmula do resíduo para polos de ordem 2:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a e avaliamos em .
Para :
Como é uma raiz simples (de multiplicidade 1), o resíduo é:

Passo 5

Calculando os resíduos:
Para :
Fazendo a derivada:
Após simplificação em , obtemos o resíduo.
Para :

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Portanto,

Passo 7

Finalmente, somamos os resíduos calculados:
Substituindo os valores dos resíduos obtidos nos passos anteriores, encontramos o valor final da integral.

Resposta

A integral vale a soma dos resíduos de em e :

Exercícios relacionados

A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.

R.
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado: , para .

R.