Calcule a integral
, onde
e
o retângulo com vértices
,
, orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral
onde
e
é um retângulo com vértices em
e
, orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver isso. Precisamos identificar os polos de
que estão dentro do contorno
e calcular seus resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão os polos de
. Os polos ocorrem nos pontos onde o denominador de
é zero:
-
(de multiplicidade 2), -
(de multiplicidade 2), -
(de multiplicidade 1).
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do retângulo
. O retângulo tem vértices em
e
, ou seja, cobre a região onde a parte real de
varia de
a
e a parte imaginária de
varia de
a
.
- Para
: Parte real é (dentro de a ), mas a parte imaginária é (fora de a ). Fora da . - Para
: Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da . - Para
: Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da .
Portanto, apenas
e
estão dentro de
.
Passo 4
Vamos calcular os resíduos de
nos pontos
e
.
Para
:
Como
é uma raiz de multiplicidade 2, precisamos usar a fórmula do resíduo para polos de ordem 2:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a
e avaliamos em
.
Para
:
Como
é uma raiz simples (de multiplicidade 1), o resíduo é:
Passo 5
Calculando os resíduos:
Para
:
Fazendo a derivada:
Após simplificação em
, obtemos o resíduo.
Para
:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos:
Portanto,
Passo 7
Finalmente, somamos os resíduos calculados:
Substituindo os valores dos resíduos obtidos nos passos anteriores, encontramos o valor final da integral.
Resposta
A integral vale a soma dos resíduos de
em
e
:
Exercícios relacionados
A seguir, você irá calcular
, onde
está delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido
R.
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado:
, para
.
R.