Calcule a integral 12 pi i ointgamma f(z) d z, onde f(z)=e^z(z+3 i)^2(z+3)^2(z+4) e gamma o retângulo com vértices 2 pm i, -8 pm i, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral
12 pi i ointgamma f(z) , dz,
onde
f(z) = e^z(z + 3i)^2(z + 3)^2(z + 4),
e é um retângulo com vértices em e , orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema dos Resíduos da análise complexa para resolver isso. Precisamos identificar os polos de que estão dentro do contorno e calcular seus resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão os polos de . Os polos ocorrem nos pontos onde o denominador de é zero:
  1. (de multiplicidade 2),
  2. (de multiplicidade 2),
  3. (de multiplicidade 1).

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do retângulo . O retângulo tem vértices em e , ou seja, cobre a região onde a parte real de varia de a e a parte imaginária de varia de a .
  • Para : Parte real é (dentro de a ), mas a parte imaginária é (fora de a ). Fora da .
  • Para : Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da .
  • Para : Parte real é (dentro), e a parte imaginária é (dentro). Dentro da .
Portanto, apenas e estão dentro de .

Passo 4

Vamos calcular os resíduos de Res(f, -3) = limz to -3 ddz[(z + 3)^2 f(z)] nos pontos (z + 3)^2 f(z) = e^z(z + 3i)^2(z + 4) e Res(f, -4) = limz to -4 (z + 4) f(z) = e^-4( -4 + 3i)^2( -4 + 3)^2 .
Para :
Como é uma raiz de multiplicidade 2, precisamos usar a fórmula do resíduo para polos de ordem 2:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a e avaliamos em .
Para :
Como é uma raiz simples (de multiplicidade 1), o resíduo é:

Passo 5

Calculando os resíduos:
Para Res(f, -3) = limz to -3 ddz[e^z(z + 3i)^2(z + 4)] :
ddz[e^z(z + 3i)^2(z + 4)] = e^z(z + 3i)^2(z + 4) - e^z cdot 2(z + 3i)(z + 4) - e^z(z + 3i)^2(z + 3i)^4(z + 4)^2
Fazendo a derivada:
Res(f, -4) = e^-4( -4 + 3i)^2( -4 + 3)^2 = e^-4( -4 + 3i)^2(-1)^2 = e^-4( -4 + 3i)^2
Após simplificação em , obtemos o resíduo.
Para :

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos:
ointgamma f(z) , dz = 2pi i ( Res(f, -3) + Res(f, -4) )
Portanto,
12 pi i ointgamma f(z) , dz = Res(f, -3) + Res(f, -4)

Passo 7

Finalmente, somamos os resíduos calculados:
12 pi i ointgamma f(z) , dz = Res(f, -3) + Res(f, -4)
Substituindo os valores dos resíduos obtidos nos passos anteriores, encontramos o valor final da integral.

Resposta

A integral vale a soma dos resíduos de 12 pi i ointgamma f(z) , dz = Res(f, -3) + Res(f, -4) em e :

Exercícios relacionados