Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado: , para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma equação do plano tangente à superfície parametrizada pela função no ponto onde e .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes. Precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e depois usar essas informações para encontrar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na superfície quando e . Substituindo esses valores na função :
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão vetores tangentes à superfície nas direções de e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto e :
Para :
Para :
Esses vetores e são tangentes à superfície no ponto .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial (ou cruz) desses dois vetores tangentes:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar dividindo por :

Passo 6

Agora, com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano:
Onde e . Expandindo isso:
Simplificando:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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Calcule a integral , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.

R.

R.