Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado: , para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar uma equação do plano tangente à superfície parametrizada pela função no ponto onde e .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e planos tangentes. Precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e depois usar essas informações para encontrar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na superfície quando e . Substituindo esses valores na função :
Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão vetores tangentes à superfície nas direções de e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto e :
Para :
Para :
Esses vetores e são tangentes à superfície no ponto .
Passo 5
Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial (ou cruz) desses dois vetores tangentes:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é . Podemos simplificar dividindo por :
Passo 6
Agora, com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano: