R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes que vamos usar na fórmula do fator integrante. A equação está na forma:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ). A fórmula para ele é:
Substituindo :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante para simplificar:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora está na forma que facilita a aplicação da derivada do produto. Perceba que o lado esquerdo é a derivada de :

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por 3 para simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: .

R.
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
Calcule a integral , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.