R.
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Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O conteúdo que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar um fator integrante que vai nos ajudar a simplificar a equação e integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os coeficientes que vamos usar na fórmula do fator integrante. A equação está na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
). A fórmula para ele é:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante para simplificar:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora está na forma que facilita a aplicação da derivada do produto. Perceba que o lado esquerdo é a derivada de
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral do lado direito. Para isso, usamos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por 3 para simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: