A seguir, você irá calcular integral triplaE^square e^z d V, onde E está delimitado pelo paraboloide z=1+x^2+ y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano x y. Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido E no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE^square e^z d V, onde o sólido E é delimitado pelo paraboloide z = 1 + x^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano xy. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o sólido E. Ele é a região no espaço que está abaixo do paraboloide z = 1 + x^2 + y^2, dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e acima do plano xy (que é onde z = 0). Imagino como uma “tigela” parabólica cortada pelo cilindro e pelo plano.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, usamos (r, theta, z) onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
    E o elemento de volume vira dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 4

Vamos reescrever as superfícies que delimitam E em coordenadas cilíndricas:
  • O paraboloide: z = 1 + x^2 + y^2 = 1 + r^2
  • O cilindro: x^2 + y^2 = 4 se torna r^2 = 4, ou seja, r = 2
  • O plano xy: z = 0

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta ao redor do cilindro.
  • r varia de 0 a 2, já que o raio do cilindro é 2.
  • z varia do plano xy ( z = 0) até o paraboloide ( z = 1 + r^2).

Passo 6

Com tudo isso, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume é r , dr , dtheta , dz, e a função que estamos integrando é e^z.

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaE^square e^z d V = integral0^2pi integral0^2 integral0^1 + r^2 e^z , r , dz , dr , dtheta

Exercícios relacionados