A seguir, você irá calcular
, onde
está delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido
no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde o sólido
é delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o sólido
. Ele é a região no espaço que está abaixo do paraboloide
, dentro do cilindro
e acima do plano
(que é onde
). Imagino como uma “tigela” parabólica cortada pelo cilindro e pelo plano.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, usamos
onde:
-
-
-
E o elemento de volume vira.
Passo 4
Vamos reescrever as superfícies que delimitam
em coordenadas cilíndricas:
- O paraboloide:
- O cilindro:
se torna , ou seja, - O plano
:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
-
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do cilindro. -
varia de a , já que o raio do cilindro é . -
varia do plano ( ) até o paraboloide ( ).
Passo 6
Com tudo isso, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume é
, e a função que estamos integrando é
.
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Exercícios relacionados
R.
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral
.
Resposta: .
Resposta:
Calcule a integral
, onde
e
o retângulo com vértices
,
, orientado no sentido anti-horário.
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado:
, para
.