A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde o sólido é delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o sólido . Ele é a região no espaço que está abaixo do paraboloide , dentro do cilindro e acima do plano (que é onde ). Imagino como uma “tigela” parabólica cortada pelo cilindro e pelo plano.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, usamos onde:

  • E o elemento de volume vira .

Passo 4

Vamos reescrever as superfícies que delimitam em coordenadas cilíndricas:
  • O paraboloide:
  • O cilindro: se torna , ou seja,
  • O plano :

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do cilindro.
  • varia de a , já que o raio do cilindro é .
  • varia do plano ( ) até o paraboloide ( ).

Passo 6

Com tudo isso, podemos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume é , e a função que estamos integrando é .

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:

Exercícios relacionados


R.
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: .
Calcule a integral , onde e o retângulo com vértices , , orientado no sentido anti-horário.
Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado: , para .