Calcule a integral.
22. integral(arcsen x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de Integração por Partes. Para resolver, a gente vai precisar identificar partes da expressão que vamos chamar de e , e depois aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais funções serão u = (arcsin x)^2 e dv = dx . Uma boa estratégia é escolher como a parte que se torna mais simples quando derivada. Aqui, vamos escolher:
Então, o restante será :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 2 arcsin x cdot 1raiz1 - x^2 , dx e v = integral dv = integral dx = x . Para isso, derivamos em relação a e integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (arcsin x)^2 , dx = x (arcsin x)^2 - integral x cdot (2 arcsin x cdot 1raiz1 - x^2) dx
Simplificando:
= x (arcsin x)^2 - 2 integral x arcsin xraiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral t = arcsin x Rightarrow x = sin t Rightarrow dx = cos t , dt . Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja:
integral sin t cdot traiz1 - sin^2 t cdot cos t , dt = integral t cdot sin t , dt
Substituindo na integral:
Porque , e cancela.

Passo 6

Agora, vamos resolver u = t Rightarrow du = dt por integração por partes novamente. Escolhemos:
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
integral t sin t , dt = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t + C
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Voltando à substituição que fizemos:
t = arcsin x
Então:
integral x arcsin xraiz1 - x^2 , dx = -arcsin x cdot cos(arcsin x) + sin(arcsin x) + C
Simplificando:
cos(arcsin x) = raiz1 - x^2 e sin(arcsin x) = x
Portanto:
= -arcsin x cdot raiz1 - x^2 + x + C

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
integral (arcsin x)^2 , dx = x (arcsin x)^2 - 2 (-arcsin x cdot raiz1 - x^2 + x) + C
Distribuindo o -2:
= x (arcsin x)^2 + 2 arcsin x cdot raiz1 - x^2 - 2x + C

Resposta

A integral x (arcsin x)^2 + 2 arcsin x cdot raiz1 - x^2 - 2x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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