Calcule a integral.
22.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de Integração por Partes. Para resolver, a gente vai precisar identificar partes da expressão que vamos chamar de
e
, e depois aplicar a fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais funções serão
e
. Uma boa estratégia é escolher
como a parte que se torna mais simples quando derivada. Aqui, vamos escolher:
Então, o restante será
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
em relação a
e integramos
:
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Porque
, e
cancela.
Passo 6
Agora, vamos resolver
por integração por partes novamente. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à substituição que fizemos:
Então:
Simplificando:
Portanto:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o -2:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.