Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
20. y = x^2 + 1, x = 2 em torno de y = -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o volume gerado quando giramos a região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volume usando cilindros fininhos.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região que vamos girar. Temos a parábola e a linha vertical . A região delimitada por essas duas curvas está à esquerda de e acima da parábola.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas envolve integrar ao longo do eixo . Uma “cascas” é um cilindro vertical infinitesimal com uma pequena espessura . Para cada casca, precisamos determinar:
  • A altura da casca: a diferença entre a função superior e inferior.
  • O raio da casca: a distância do eixo de rotação até a casca.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. A parábola cruza o eixo em e a linha está verticalmente a . Portanto, nosso intervalo de vai de a .

Passo 5

Agora, vamos determinar a altura de cada casca. Como estamos girando em torno de , a altura da casca será a diferença entre a altura da função e a linha de rotação :

Passo 6

O raio da casca é a distância vertical do eixo de rotação até a casca na posição :
No entanto, isso está incorreto! O raio na verdade deve ser a distância vertical entre o eixo de rotação e a posição fixa do eixo horizontal. Como estamos girando em torno de , o raio é a distância de qualquer ponto da função até . Então:
Mas precisamos expressar tudo em termos de :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Substituindo os valores que encontramos:
Aqui, é o raio em função de , e a altura já consideramos a diferença das funções.

Passo 8

Simplificamos a expressão dentro da integral:

Passo 9

Agora, calculamos a integral:
Avaliado de a :

Passo 10

Multiplicamos pelo :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região é unidades cúbicas.

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