Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
20.
em torno de
20.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o volume gerado quando giramos a região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volume usando cilindros fininhos.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região que vamos girar. Temos a parábola
e a linha vertical
. A região delimitada por essas duas curvas está à esquerda de
e acima da parábola.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas envolve integrar ao longo do eixo
. Uma “cascas” é um cilindro vertical infinitesimal com uma pequena espessura
. Para cada casca, precisamos determinar:
- A altura da casca: a diferença entre a função superior e inferior.
- O raio da casca: a distância do eixo de rotação até a casca.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. A parábola
cruza o eixo
em
e a linha
está verticalmente a
. Portanto, nosso intervalo de
vai de
a
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a altura de cada casca. Como estamos girando em torno de
, a altura da casca será a diferença entre a altura da função
e a linha de rotação
:
Passo 6
O raio da casca é a distância vertical do eixo de rotação
até a casca na posição
:
No entanto, isso está incorreto! O raio na verdade deve ser a distância vertical entre o eixo de rotação e a posição fixa do eixo horizontal. Como estamos girando em torno de
, o raio é a distância de qualquer ponto
da função até
. Então:
Mas precisamos expressar tudo em termos de
:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do método das cascas cilíndricas:
Substituindo os valores que encontramos:
Aqui,
é o raio em função de
, e a altura já consideramos a diferença das funções.
Passo 8
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, calculamos a integral:
Avaliado de
a
:
Passo 10
Multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região é
unidades cúbicas.