Considere o elipsoide
.
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto
faz com o plano
.
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o ângulo agudo entre o plano tangente ao elipsoide
no ponto
e o plano
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies e cálculo de ângulos entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto dado
. A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Passo 3
Para o elipsoide
, definimos
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituindo na equação do plano tangente:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 4 para simplificar:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 6
Agora, queremos encontrar o ângulo entre este plano
e o plano
. A equação do plano
é simplesmente
, que pode ser escrita na forma
.
Passo 7
Para encontrar o ângulo entre dois planos, usamos a relação entre seus vetores normais. O vetor normal ao plano
é
, e o vetor normal ao plano
é
.
Passo 8
O ângulo
entre os dois planos é dado pelo ângulo entre seus vetores normais, usando a fórmula do produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:
Passo 9
Substituindo na fórmula:
Agora, encontramos o ângulo
:
Resposta
O ângulo agudo entre o plano tangente ao elipsoide no ponto
e o plano
é
, aproximadamente
.