Considere o elipsoide x^2 + y^2 + 4 z^2 = 12.
c) Determine o ângulo agudo que o plano tangente no ponto (2, 2, 1) faz com o plano x y.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o ângulo agudo entre o plano tangente ao elipsoide no ponto e o plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies e cálculo de ângulos entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a equação do plano tangente ao elipsoide no ponto dado . A fórmula geral para o plano tangente a uma superfície no ponto é:

Passo 3

Para o elipsoide , definimos . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Substituindo na equação do plano tangente:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 4 para simplificar:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 6

Agora, queremos encontrar o ângulo entre este plano e o plano . A equação do plano é simplesmente , que pode ser escrita na forma .

Passo 7

Para encontrar o ângulo entre dois planos, usamos a relação entre seus vetores normais. O vetor normal ao plano é , e o vetor normal ao plano é .

Passo 8

O ângulo entre os dois planos é dado pelo ângulo entre seus vetores normais, usando a fórmula do produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Calculando as normas:

Passo 9

Substituindo na fórmula:
Agora, encontramos o ângulo :

Resposta

O ângulo agudo entre o plano tangente ao elipsoide no ponto e o plano é , aproximadamente .

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