In Problems 19-36 use Theorem 7.1.1 to find L{f(t)}.
f(t) = (e^t - e^-t)²

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a transformada de Laplace de . Estamos lidando com transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar expandir a expressão e aplicar as propriedades básicas da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da função :
Simplificando , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear. Isso significa que:
Aplicando isso à nossa função expandida:

Passo 4

Vamos calcular cada transformada separadamente.
  1. Transformada de :
Aqui, , então:
  1. Transformada de :
  1. Transformada de :
Usando a mesma fórmula da primeira parte, com :

Passo 5

Agora, substituímos as transformadas encontradas de volta na expressão original:

Passo 6

Podemos deixar a expressão assim ou, se preferir, combinar os termos em uma única fração. Mas, de forma mais simples, essa é a forma da transformada de Laplace da função dada.

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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