Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Calcule a derivada de
em relação a
.
Calcule a derivada de
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
usando a substituição
. Isso envolve conceitos de cálculo como integrais e derivadas. Para isso, vamos precisar aplicar a técnica de substituição e calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa substituição. Definimos:
Essa escolha simplifica a integral, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Isso é essencial para substituir
na integral.
Vamos derivar cada termo de
:
Passo 4
Agora que temos
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Observe que
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, vamos voltar à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.