Resolva a integral integral 2 x+1x^2+x+1 d x aplicando a substituição u=x^2+x+1.
Calcule a derivada de u em relação a x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral usando a substituição . Isso envolve conceitos de cálculo como integrais e derivadas. Para isso, vamos precisar aplicar a técnica de substituição e calcular a derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa substituição. Definimos:
u = x^2 + x + 1
Essa escolha simplifica a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = ddx(x^2) + ddx(x) + ddx(1) em relação a dudx = 2x + 1 + 0 , ou seja, dudx = 2x + 1 . Isso é essencial para substituir na integral.
Vamos derivar cada termo de :

Passo 4

Agora que temos du = (2x + 1) , dx , podemos expressar dx = du2x + 1 em termos de :

Passo 5

Vamos substituir integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx = integral 2x + 1u cdot du2x + 1 e integral 2x + 1u cdot du2x + 1 = integral 1u , du na integral original:
Observe que no numerador e denominador se cancelam:

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral 1u , du
Sabemos que a integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos voltar à variável original ln|u| + C = ln|x^2 + x + 1| + C substituindo :

Resposta

A integral resolvida é:
integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx = ln|x^2 + x + 1| + C
onde é a constante de integração.

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