Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral usando a substituição . Isso envolve conceitos de cálculo como integrais e derivadas. Para isso, vamos precisar aplicar a técnica de substituição e calcular a derivada de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa substituição. Definimos:
Essa escolha simplifica a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Isso é essencial para substituir na integral.
Vamos derivar cada termo de :

Passo 4

Agora que temos , podemos expressar em termos de :

Passo 5

Vamos substituir e na integral original:
Observe que no numerador e denominador se cancelam:

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, vamos voltar à variável original substituindo :

Resposta

A integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule a integral usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Calcule a integral usando a substituição .
Determine a derivada de em relação a .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Realize a integração em termos de .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Reverta a substituição para obter a resposta final.