Calcule integralln (pi / 6)^ln (pi / 2) 2 e^x cos (e^x) d x.

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral definida integralln (pi / 6)^ln (pi / 2) 2 e^x cos (e^x) d x. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos deixar u = e^x. Assim, precisamos encontrar du em termos de dx.
Sabendo que u = e^x, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dudx = e^x Rightarrow du = e^x dx
Então, isolando dx:
dx = due^x = duu

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de x para u. Quando x = ln (pi / 6):
u = e^ln (pi / 6) = pi / 6
E quando x = ln (pi / 2):
u = e^ln (pi / 2) = pi / 2

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integralln (pi / 6)^ln (pi / 2) 2 e^x cos (e^x) dx = integralpi / 6^pi / 2 2 u cos(u) cdot duu = integralpi / 6^pi / 2 2 cos(u) du
Note que o u no numerador e denominador cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: 2 integralpi / 6^pi / 2 cos(u) du. Vamos integrar cos(u) em relação a u.
A antiderivada de cos(u) é sin(u). Então:
2 integral cos(u) du = 2 sin(u) + C
Como é uma integral definida, vamos avaliar os limites de pi / 6 a pi / 2.

Passo 6

Aplicando os limites:
2 [sin(u)]pi / 6^pi / 2 = 2 [sin(pi / 2) - sin(pi / 6)]
Sabemos que sin(pi / 2) = 1 e sin(pi / 6) = 1/2, então:
2 [1 - 1/2] = 2 times 12 = 1

Resposta

O valor da integral é 1.

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