Calcule .

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral definida . Isso envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos deixar . Assim, precisamos encontrar em termos de .
Sabendo que , derivando ambos os lados em relação a , temos:
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites de integração de para . Quando :
E quando :

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
Note que o no numerador e denominador cancelam, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples: . Vamos integrar em relação a .
A antiderivada de é . Então:
Como é uma integral definida, vamos avaliar os limites de a .

Passo 6

Aplicando os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

(a) Calcule .
(b) Determine e esboce o domínio de .
© Determine o conjunto imagem de .
Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
Calcule os limites, caso exista:
Calcule os limites, caso exista: