Calcule
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que calcular a integral definida
. Isso envolve cálculo integral, especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do cosseno. Vamos deixar
. Assim, precisamos encontrar
em termos de
.
Sabendo que
, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Note que o
no numerador e denominador cancelam, simplificando a integral.
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
. Vamos integrar
em relação a
.
A antiderivada de
é
. Então:
Como é uma integral definida, vamos avaliar os limites de
a
.
Passo 6
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule
.
(b) Determine e esboce o domínio de .
© Determine o conjunto imagem de .
(b) Determine e esboce o domínio de
© Determine o conjunto imagem de
Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
Calcule os limites, caso exista:
Calcule os limites, caso exista: