Considere a constante K=integral1^2 e^2 x^2x d x como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de L definido por
L=K4+integral1^2 ln (x) x e^2 x^2 d x
Observação: O valor de K não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o valor de L = K4 + integral1^2 ln(x) cdot x cdot e^2x^2 , dx , que é dado por:
K = integral1^2 e^2x^2x , dx
Onde já é conhecido como:
Aqui, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral que está no .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral que está no integral1^2 ln(x) cdot x cdot e^2x^2 , dx :
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Para aplicar integração por partes, lembramos a fórmula:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx
dv = x cdot e^2x^2 , dx Rightarrow v = integral x cdot e^2x^2 , dx
Agora, vamos calcular w = 2x^2 Rightarrow dw = 4x , dx Rightarrow dw4 = x , dx . Para isso, faremos uma substituição simples:
v = integral x cdot e^2x^2 , dx = 14 integral e^w , dw = 14 e^w + C = 14 e^2x^2 + C
Então,

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo nossas escolhas:
integral ln(x) cdot x cdot e^2x^2 , dx = ln(x) cdot ( 14 e^2x^2 ) - integral ( 14 e^2x^2 ) cdot 1x , dx
Simplificando:
= ln(x)4 e^2x^2 - 14 integral e^2x^2x , dx

Passo 5

Agora, observamos que a integral restante é exatamente integral1^2 e^2x^2x , dx = K :
integral1^2 ln(x) cdot x cdot e^2x^2 , dx = [ ln(x)4 e^2x^2 ]1^2 - 14 K
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Vamos calcular a parte com os limites:
[ ln(x)4 e^2x^2 ]1^2 = ln(2)4 e^8 - ln(1)4 e^2
Sabemos que = ln(2)4 e^8 - 0 = ln(2)4 e^8 , então:
integral1^2 ln(x) cdot x cdot e^2x^2 , dx = ln(2)4 e^8 - 14 K
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na definição de L = K4 + ( ln(2)4 e^8 - 14 K ) :
L = K4 + ln(2)4 e^8 - 14 K = ln(2)4 e^8
Simplificando:

Resposta

L = ln(2)4 e^8

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