Considere a constante como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de definido por
Observação: O valor de não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o valor de , que é dado por:
Onde já é conhecido como:
Aqui, vamos usar integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral que está no .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral que está no :
Para aplicar integração por partes, lembramos a fórmula:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Vamos escolher:
Agora, vamos calcular . Para isso, faremos uma substituição simples:
Então,

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossas escolhas:
Simplificando:

Passo 5

Agora, observamos que a integral restante é exatamente :
Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Vamos calcular a parte com os limites:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos essa expressão na definição de :
Simplificando:

Resposta

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Calcule a integral .
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a função
está bem definida no espaço , de modo que
Calcule a integral .
Calcule a integral .