Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR y e^x d A, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar essa solução. Para isso, precisamos transformar a função e os limites de integração para as coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares:
  • y e^x = r sintheta , e^r costheta
  • A área diferencial em coordenadas polares é
Então, a nossa função vira:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo :
  • O raio vai de até (já que )
  • O ângulo vai de até (90 graus, pois é o primeiro quadrante)

Passo 4

Com essas informações, a integral em coordenadas polares fica:
integral0^pi2 integral0^5 r sintheta , e^r costheta cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 sintheta integral0^5 r^2 e^r costheta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^5 r^2 e^r costheta , dr :
integral r^n e^a r , dr = e^a ra ( r^n - na r^n-1 + n(n-1)a^2 r^n-2 - dots ) + C
Para isso, usamos a integração por partes ou reconhecemos uma fórmula padrão:
integral r^2 e^r costheta , dr = e^r costheta ( r^2costheta - 2 rcos^2theta + 2cos^3theta ) g|0^5
Aplicando para = e^5 costheta ( 25costheta - 10cos^2theta + 2cos^3theta ) - ( 0 - 0 + 2cos^3theta ) e = e^5 costheta ( 25costheta - 10cos^2theta + 2cos^3theta ) - 2cos^3theta :
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 sintheta [ e^5 costheta ( 25costheta - 10cos^2theta + 2cos^3theta ) - 2cos^3theta ] dtheta
Essa integral é bastante complexa e pode não ter uma solução em forma fechada simples. Portanto, podemos deixá-la expressa dessa forma ou utilizar métodos numéricos para calcular um valor aproximado.

Resposta

A integral integral0^pi2 sintheta [ e^5 costheta ( 25costheta - 10cos^2theta + 2cos^3theta ) - 2cos^3theta ] dtheta calculada em coordenadas polares resulta na expressão:
Essa expressão pode ser avaliada numericamente para obter o valor da integral.

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