Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo . A gente vai usar coordenadas polares para facilitar essa solução. Para isso, precisamos transformar a função e os limites de integração para as coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para polares:
A área diferencial em coordenadas polares é
Então, a nossa função vira:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como a região está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo :
O raio vai de até (já que )
O ângulo vai de até (90 graus, pois é o primeiro quadrante)
Passo 4
Com essas informações, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Para isso, usamos a integração por partes ou reconhecemos uma fórmula padrão:
Essa integral é bastante complexa e pode não ter uma solução em forma fechada simples. Portanto, podemos deixá-la expressa dessa forma ou utilizar métodos numéricos para calcular um valor aproximado.
Resposta
A integral integral0^pi2 sintheta [ e^5 costheta ( 25costheta - 10cos^2theta + 2cos^3theta ) - 2cos^3theta ] dtheta calculada em coordenadas polares resulta na expressão:
Essa expressão pode ser avaliada numericamente para obter o valor da integral.