Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . , onde é limitada por e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região da função em relação a . A região é limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para uma integral dupla e usar um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos três limites:
  1. : é o eixo .
  2. : uma parábola que abre para cima.
  3. : uma linha vertical.
Vamos desenhar essas curvas para identificar a área que elas delimitam. A interseção de com acontece quando . Então, a região vai de até , e para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, podemos configurar a integral dupla. A integral será:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
A integral de em relação a é :

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

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Utilize coordenadas polares para de
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo