Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D . integral duplaD x cos y d A, onde D é limitada por y=0, y=x^2 e x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região da função em relação a . A região é limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para uma integral dupla e usar um pouco de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos três limites:
  1. : é o eixo .
  2. : uma parábola que abre para cima.
  3. : uma linha vertical.
Vamos desenhar essas curvas para identificar a área que elas delimitam. A interseção de com acontece quando . Então, a região vai de até , e para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, podemos configurar a integral dupla. A integral será:
integralx=0^1 integraly=0^x^2 x cos y , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x^2 x cos y , dy
Como x integral0^x^2 cos y , dy é uma constante em relação a x [sin y]0^x^2 = x (sin x^2 - sin 0) = x sin x^2 , podemos tirá-lo da integral:
A integral de em relação a é :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x sin x^2 , dx
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
integralu=0^1 sin u cdot du2 = 12 integral0^1 sin u , du
A integral de 12 [-cos u]0^1 = 12 (-cos 1 + cos 0) = 12 (1 - cos 1) em relação a é :

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
1 - cos 12

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