Calcule a integral dupla sobre as regiões gerais D .
, onde
é limitada por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla sobre a região
da função
em relação a
. A região
é limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para uma integral dupla e usar um pouco de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos três limites:
-
: é o eixo . -
: uma parábola que abre para cima. -
: uma linha vertical.
Vamos desenhar essas curvas para identificar a área que elas delimitam. A interseção de
com
acontece quando
. Então, a região
vai de
até
, e para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Agora que sabemos os limites de integração, podemos configurar a integral dupla. A integral será:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
em relação a
é
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
, então
ou
.
Passo 6
Substituindo na integral:
A integral de
em relação a
é
:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é:
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Calcule
:
Calcule
:
Utilize coordenadas polares para de
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo