Calcule a integral definida.
(d) integral-1^0(2 e^x+4 cos x) d x;

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral definida integral-1^0(2 e^x+4 cos x) dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos integrar cada termo dentro da integral separadamente e depois calcular os valores nos limites de -1 e 0.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo 2 e^x. A integral de e^x em relação a x é simplesmente e^x. Então, multiplicando por 2, temos:
integral 2 e^x dx = 2 e^x + C
Aqui, C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular a diferença nos limites.

Passo 3

Agora, vamos integrar o termo 4 cos x. A integral de cos x em relação a x é sin x. Multiplicando por 4, ficamos com:
integral 4 cos x dx = 4 sin x + C
Mais uma vez, a constante de integração C não é necessária para integrais definidas.

Passo 4

Juntando as duas integrais, temos:
integral-1^0(2 e^x+4 cos x) dx = [2 e^x + 4 sin x]-1^0
Isso significa que vamos calcular a expressão 2 e^x + 4 sin x nos limites de 0 e -1 e depois subtrair o menor do maior.

Passo 5

Primeiro, calculamos em x = 0:
2 e^0 + 4 sin 0 = 2 cdot 1 + 4 cdot 0 = 2 + 0 = 2
Em seguida, calculamos em x = -1:
2 e^-1 + 4 sin (-1) = 2 cdot 1e + 4 cdot (-sin 1) approx 2 cdot 0,3679 - 4 cdot 0,8415 approx 0,7358 - 3,366 = -2,6302

Passo 6

Agora, subtraímos os valores obtidos:
2 - (-2,6302) = 2 + 2,6302 = 4,6302

Resposta

A integral definida integral-1^0(2 e^x+4 cos x) dx é aproximadamente igual a 4,6302.

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