Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = x^2 + y ; k = -2, -1, 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso significa que vamos desenhar gráficos no plano onde a função assume esses valores específicos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante . Para encontrar essas curvas, substituímos por na equação da função.
Então, começamos com a equação da função:
Substituindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a equação da curva de nível:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. Cada valor de vai deslocar a parábola para cima ou para baixo no gráfico.

Passo 4

Vamos considerar cada valor de e escrever a equação correspondente da curva de nível:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos descrever como essas parábolas se parecem no gráfico:
  • Todas as parábolas têm a forma , onde é uma constante.
  • Como o coeficiente de é negativo, todas abrem para baixo.
  • À medida que aumenta, a parábola se desloca para cima no gráfico.
  • À medida que diminui, a parábola se desloca para baixo.

Resposta

As curvas de nível da função para os valores de são parábolas definidas pelas equações:
Cada uma dessas parábolas abre para baixo e está deslocada verticalmente de acordo com o valor de .

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