Esboce a curva de nível com os valores especificados de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar as curvas de nível da função para os valores de . Isso significa que vamos desenhar gráficos no plano onde a função assume esses valores específicos de .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante . Para encontrar essas curvas, substituímos por na equação da função.
Então, começamos com a equação da função:
Substituindo por , temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar para encontrar a equação da curva de nível:
Essa é a equação de uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. Cada valor de vai deslocar a parábola para cima ou para baixo no gráfico.
Passo 4
Vamos considerar cada valor de e escrever a equação correspondente da curva de nível:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos descrever como essas parábolas se parecem no gráfico:
Todas as parábolas têm a forma , onde é uma constante.
Como o coeficiente de é negativo, todas abrem para baixo.
À medida que aumenta, a parábola se desloca para cima no gráfico.
À medida que diminui, a parábola se desloca para baixo.
Resposta
As curvas de nível da função para os valores de são parábolas definidas pelas equações:
Cada uma dessas parábolas abre para baixo e está deslocada verticalmente de acordo com o valor de .