Esboce a curva de nível z = k com os valores especificados de k.
z = y / x ; k = -2, -1, 0, 1, 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos desenhar as curvas de nível para , onde assume os valores -2, -1, 0, 1 e 2. Isso está relacionado com a geometria analítica, especificamente com curvas de nível, que são como “fatias” da superfície definida pela função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , a curva de nível representa todos os pontos que fazem com que a função seja igual a . Basicamente, estamos fixando o valor de e vendo como e se comportam nesse caso.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Queremos encontrar as curvas onde , ou seja:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para :
Isso significa que, para cada valor de , a curva de nível é uma reta que passa pela origem (0,0) com inclinação .

Passo 5

Agora, vamos substituir cada valor de na equação e identificar as retas correspondentes:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para : Essa é a linha -axis.
  4. Para :
  5. Para :

Passo 6

Vamos esboçar essas retas no plano :
  • : Reta com inclinação negativa, mais inclinada que .
  • : Reta com inclinação negativa, inclinada 45 graus em relação aos eixos.
  • : Linha horizontal ao longo do eixo .
  • : Reta com inclinação positiva, inclinada 45 graus em relação aos eixos.
  • : Reta com inclinação positiva, mais inclinada que .

Resposta

As curvas de nível para com são retas que passam pela origem com as equações:
Essas retas representam as curvas de nível desejadas no plano .

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