Esboce a curva de nível com os valores especificados de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos desenhar as curvas de nível para , onde assume os valores -2, -1, 0, 1 e 2. Isso está relacionado com a geometria analítica, especificamente com curvas de nível, que são como “fatias” da superfície definida pela função .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , a curva de nível representa todos os pontos que fazem com que a função seja igual a . Basicamente, estamos fixando o valor de e vendo como e se comportam nesse caso.
Passo 3
No nosso caso, a função é . Queremos encontrar as curvas onde , ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para :
Isso significa que, para cada valor de , a curva de nível é uma reta que passa pela origem (0,0) com inclinação .
Passo 5
Agora, vamos substituir cada valor de na equação e identificar as retas correspondentes:
Para :
Para :
Para :Essa é a linha -axis.
Para :
Para :
Passo 6
Vamos esboçar essas retas no plano :
: Reta com inclinação negativa, mais inclinada que .
: Reta com inclinação negativa, inclinada 45 graus em relação aos eixos.
: Linha horizontal ao longo do eixo .
: Reta com inclinação positiva, inclinada 45 graus em relação aos eixos.
: Reta com inclinação positiva, mais inclinada que .
Resposta
As curvas de nível para com são retas que passam pela origem com as equações:
Essas retas representam as curvas de nível desejadas no plano .