Calcule a integral definida. integral0^pi / 2lang<=cos 2 t, sen 2 trang<= d t

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral0^pi / 2lang<=cos 2 t, sen 2 trang<= , dt. Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos integrar cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral de um vetor é feita componente por componente. Ou seja, vamos integrar cos 2t e sen 2t separadamente no intervalo de 0 a pi/2.

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira componente: integral0^pi / 2 cos 2t , dt. A integral de cos 2t em relação a t é 12 sin 2t. Então:
integral0^pi / 2 cos 2t , dt = [ 12 sin 2t ]0^pi / 2

Passo 4

Agora, calculamos os valores nos limites da integral:
12 sin (2 cdot pi2) - 12 sin(0) = 12 sin pi - 12 cdot 0 = 12 cdot 0 - 0 = 0

Passo 5

Em seguida, vamos integrar a segunda componente: integral0^pi / 2 sen 2t , dt. A integral de sen 2t em relação a t é - 12 cos 2t. Então:
integral0^pi / 2 sen 2t , dt = [ -12 cos 2t ]0^pi / 2

Passo 6

Calculamos os valores nos limites da integral:
- 12 cos (2 cdot pi2) + 12 cos(0) = -12 cos pi + 12 cdot 1 = -12 cdot (-1) + 12 = 12 + 12 = 1

Resposta

A integral definida é lang<= 0, 1 rang<=.

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