Calcular o volume da parte da esfera
que está entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da parte da esfera definida por
que está entre os planos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, que são bem úteis para lidar com superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera
. Essa equação representa uma esfera com centro na origem
e raio
.
Passo 3
Queremos encontrar o volume da parte da esfera que está entre os planos
(plano xy) e
. Isso significa que vamos considerar apenas a “fachada” da esfera que está acima do plano xy e até z = 2.
Passo 4
Para calcular esse volume, vamos utilizar coordenadas esféricas, onde cada ponto no espaço é representado por
, sendo:
-
a distância do ponto até a origem, -
o ângulo no plano xy a partir do eixo x, -
o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas ��:
Passo 5
O volume em coordenadas esféricas é dado pela integral tripla:
Onde
e
definem os limites radiais,
e
os limites angulares, e
e os limites em torno do eixo z.
Passo 6
Para nosso caso:
-
varia de a (completando a volta em torno do eixo z), -
varia de até que correspondem aos planos e , -
varia de até (raio da esfera).
Passo 7
Vamos determinar
. O plano
intercepta a esfera quando
, então substituímos na equação da esfera:
Isso significa que a interseção ocorre em um círculo de raio
no plano
. Em coordenadas esféricas,
, então:
Mas como
varia até
, temos limites para
.
Passo 8
Agora montamos a integral:
Simplificando
.
Passo 9
Agora, calculamos a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em
:
Passo 10
Agora, integramos em
:
Passo 11
Por fim, integramos em
:
Resposta
Multiplicando tudo, o volume
é:
Simplificando:
Portanto, o volume da parte da esfera entre os planos
e
é:
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Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule
.