Calcular o volume da parte da esfera que está entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume da parte da esfera definida por que está entre os planos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas, que são bem úteis para lidar com superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera . Essa equação representa uma esfera com centro na origem e raio .

Passo 3

Queremos encontrar o volume da parte da esfera que está entre os planos (plano xy) e . Isso significa que vamos considerar apenas a “fachada” da esfera que está acima do plano xy e até z = 2.

Passo 4

Para calcular esse volume, vamos utilizar coordenadas esféricas, onde cada ponto no espaço é representado por , sendo:
  • a distância do ponto até a origem,
  • o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas ��:

Passo 5

O volume em coordenadas esféricas é dado pela integral tripla:
Onde e definem os limites radiais, e os limites angulares, e e os limites em torno do eixo z.

Passo 6

Para nosso caso:
  • varia de a (completando a volta em torno do eixo z),
  • varia de até que correspondem aos planos e ,
  • varia de até (raio da esfera).

Passo 7

Vamos determinar . O plano intercepta a esfera quando , então substituímos na equação da esfera:
Isso significa que a interseção ocorre em um círculo de raio no plano . Em coordenadas esféricas, , então:
Mas como varia até , temos limites para .

Passo 8

Agora montamos a integral:
Simplificando .

Passo 9

Agora, calculamos a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em :

Passo 10

Agora, integramos em :

Passo 11

Por fim, integramos em :

Resposta

Multiplicando tudo, o volume é:
Simplificando:
Portanto, o volume da parte da esfera entre os planos e é:

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Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule .