Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule lim x +infty cos (x)x.

Passo 1

Vamos resolver o limite da função quando tende a , usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta e aplicar as desigualdades apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema permite que a gente determine o limite de uma função se conseguimos encaixá-la entre duas outras funções cujo limite já conhecemos e que se comportam da mesma forma no limite considerado.

Passo 3

Sabemos que a função -1 <= cos(x) <= 1 sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados dessa desigualdade por -1x <= cos(x)x <= 1x . Como é positivo e tende a , a desigualdade se mantém na mesma direção:

Passo 5

Vamos calcular o limite de cada parte dessa desigualdade quando limx to +infty -1x = 0 e limx to +infty 1x = 0 tende a . Temos:

Passo 6

Como a função lim x +infty cos (x)x = 0 está entre e , e ambos os limites desses termos são 0, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

Resposta

lim x +infty cos (x)x = 0

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