Calcule a integral definida como uma série infinita.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de
usando uma série infinita. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente integrais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar saber como expandir funções em séries e como integrar essas séries termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser expandido em uma série de potências. A série de Taylor para
é dada por:
Agora, substituímos
por
para obter a série para
:
Passo 3
Agora que temos a expressão de
como uma série infinita, podemos integrar termo a termo. A integral que queremos calcular é:
Pelo Teorema da Convergência Dominada, podemos trocar a ordem de integração e soma (desde que a série convirja):
Passo 4
Vamos integrar cada termo da série. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração. Então, substituindo de volta na série:
Resposta
A integral de
pode ser expressa como uma série infinita:
Onde
é a constante de integração.