Calcule a integral definida como uma série infinita. integral arctan (x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a integral de ² usando uma série infinita. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente integrais e séries de potências. Para resolver, vamos precisar saber como expandir funções em séries e como integrar essas séries termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que arctan(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1, para |x| <= 1 pode ser expandido em uma série de potências. A série de Taylor para arctan(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+12n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1 é dada por:
Agora, substituímos por para obter a série para :

Passo 3

Agora que temos a expressão de integral arctan(x^2) , dx = integral ( sumn=0^infty (-1)^n x^4n+22n+1 ) dx como uma série infinita, podemos integrar termo a termo. A integral que queremos calcular é:
integral arctan(x^2) , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 integral x^4n+2 , dx
Pelo Teorema da Convergência Dominada, podemos trocar a ordem de integração e soma (desde que a série convirja):

Passo 4

Vamos integrar cada termo da série. A integral de integral x^4n+2 , dx = x^4n+34n+3 + C é:
integral arctan(x^2) , dx = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 cdot x^4n+34n+3 + C
Onde é a constante de integração. Então, substituindo de volta na série:

Resposta

A integral de integral arctan(x^2) , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+3(2n+1)(4n+3) + C pode ser expressa como uma série infinita:
Onde é a constante de integração.

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