Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Encontre seu raio de convergência. f(x) = x cos(x), a = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor da função , centrada em . Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor, como derivar funções e como encontrar o raio de convergência usando testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, neste caso, . A fórmula geral para a série de Taylor de centrada em é:
Como estamos centrando em , a série fica:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em . Começamos encontrando as primeiras derivadas para identificar um padrão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Percebemos que as derivadas começam a se repetir em um padrão a cada dupla de derivadas.

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas em :
Observamos que as derivadas de ordem par avaliam para 0 e as de ordem ímpar seguem um padrão.

Passo 5

Com esses valores, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar uma expressão geral para os termos da série, notamos que pode ser escrito como o produto de e a série de Taylor de .
A série de Taylor de centrada em 0 é:
Multiplicando por :

Passo 7

Agora, determinamos o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para todos os valores reais de (raio de convergência infinito). Como multiplicamos por , o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, infinito.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
O raio de convergência dessa série é infinito.

Exercícios relacionados