Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Encontre seu raio de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor da função
, centrada em
. Além disso, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Taylor, como derivar funções e como encontrar o raio de convergência usando testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma representação de uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico, neste caso,
. A fórmula geral para a série de Taylor de
centrada em
é:
Como estamos centrando em
, a série fica:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Começamos encontrando as primeiras derivadas para identificar um padrão.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Percebemos que as derivadas começam a se repetir em um padrão a cada dupla de derivadas.
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas em
:
Observamos que as derivadas de ordem par avaliam para 0 e as de ordem ímpar seguem um padrão.
Passo 5
Com esses valores, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar uma expressão geral para os termos da série, notamos que
pode ser escrito como o produto de
e a série de Taylor de
.
A série de Taylor de
centrada em 0 é:
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora, determinamos o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para todos os valores reais de
(raio de convergência infinito). Como multiplicamos por
, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja, infinito.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
O raio de convergência dessa série é infinito.