Calcule a integral definida como uma série infinita. integral x^2 sen(x^2) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida como uma série infinita: . A gente vai usar conhecimento de séries de Taylor e integração de séries. Primeiro, vamos expandir a função seno em série de Taylor e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de Taylor para sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n+1(2n+1)! em torno de 0 é:
Aqui, substituímos por para adaptar à nossa integral.

Passo 3

Substituindo sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n (x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! por na série de Taylor:
Isso nos dá a expansão em série de .

Passo 4

Agora, multiplicamos a série por x^2 sin(x^2) = x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^4n+2(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+4(2n+1)! :
integral x^2 sin(x^2) dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^4n+4(2n+1)! dx
Assim, a integral fica:

Passo 5

Podemos trocar a ordem da integração e da soma (desde que a série convirja):
integral x^2 sin(x^2) dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral x^4n+4 dx

Passo 6

Integrando integral x^4n+4 dx = x^4n+54n+5 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na série, temos:
integral x^2 sin(x^2) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+5(4n+5)(2n+1)! + C

Resposta

A integral integral x^2 sin(x^2) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^4n+5(4n+5)(2n+1)! + C pode ser expressa como a série infinita:
onde é a constante de integração.

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