Calcule a integral definida como uma série infinita.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida como uma série infinita:
. A gente vai usar conhecimento de séries de Taylor e integração de séries. Primeiro, vamos expandir a função seno em série de Taylor e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a série de Taylor para
em torno de 0 é:
Aqui, substituímos
por
para adaptar à nossa integral.
Passo 3
Substituindo
por
na série de Taylor:
Isso nos dá a expansão em série de
.
Passo 4
Agora, multiplicamos a série por
:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Podemos trocar a ordem da integração e da soma (desde que a série convirja):
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na série, temos:
Resposta
A integral
pode ser expressa como a série infinita:
onde
é a constante de integração.