Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. Encontre seu raio de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor da função
centrada em
e também o raio de convergência dessa série. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre séries de potências e expansões em série de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e como determinar seu raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
é uma representação da função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto
. A fórmula geral é:
No nosso caso, como
, a fórmula fica mais simples:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
-
Zeroth derivada (a própria função):
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
-
Derivadas de ordem superior:
Todas as derivadas de ordem cinco ou mais serão zero, já que a função é um polinômio de grau 4.
Passo 4
Com essas derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Como todas as derivadas de ordem cinco ou superiores são zero, a série de Taylor termina aí. Portanto, a série de Taylor da função é igual à própria função.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para funções polinomiais, como essa, a série de Taylor é um polinômio de grau finito, e o raio de convergência �� infinito. Isso significa que a série converge para
para todo o valor de
.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.