Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. Encontre seu raio de convergência. f(x)=2x^4-3x^2+3, a=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a série de Taylor da função centrada em e também o raio de convergência dessa série. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre séries de potências e expansões em série de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e como determinar seu raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função centrada em é uma representação da função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função no ponto . A fórmula geral é:
No nosso caso, como , a fórmula fica mais simples:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
  1. Zeroth derivada (a própria função):
  2. Primeira derivada:
  3. Segunda derivada:
  4. Terceira derivada:
  5. Quarta derivada:
  6. Derivadas de ordem superior:
    Todas as derivadas de ordem cinco ou mais serão zero, já que a função é um polinômio de grau 4.

Passo 4

Com essas derivadas, podemos montar a série de Taylor:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando:
Como todas as derivadas de ordem cinco ou superiores são zero, a série de Taylor termina aí. Portanto, a série de Taylor da função é igual à própria função.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o raio de convergência da série. Para funções polinomiais, como essa, a série de Taylor é um polinômio de grau finito, e o raio de convergência �� infinito. Isso significa que a série converge para para todo o valor de .

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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