Calcule a integral dupla. integral duplaR sen(x-y) d A, e R=(x, y) / 0 <= x <= pi / 2 ; 0 <= y <= pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR sin(x - y) , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= pi2 e 0 <= y <= pi2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. A integral dupla integral duplaR f(x, y) , dA calcula o volume sob a superfície definida por f(x, y) sobre a região R no plano xy. No nosso caso, f(x, y) = sin(x - y).

Passo 3

Como a região R é retangular, podemos escrever a integral dupla como uma iterativa, ou seja, uma integral em relação a x e outra em relação a y. Assim:
integral duplaR sin(x - y) , dA = integral0^pi2 integral0^pi2 sin(x - y) , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a x. A integral interna fica:
integral0^pi2 sin(x - y) , dx
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar u = x - y, então du = dx. Quando x = 0, u = -y, e quando x = pi2, u = pi2 - y.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral-y^pi2 - y sin(u) , du = -cos(u) |-y^pi2 - y = -cos(pi2 - y) + cos(-y)
Lembrando que cos(-y) = cos(y) e cos(pi2 - y) = sin(y), então:
-sin(y) + cos(y)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral0^pi2 ( cos(y) - sin(y) ) dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^pi2 cos(y) , dy - integral0^pi2 sin(y) , dy

Passo 7

Calculando cada uma das integrais:
  1. integral cos(y) , dy = sin(y) + C
  2. integral sin(y) , dy = -cos(y) + C
Aplicando os limites de integração:
  1. sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
  2. - cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Passo 8

Substituindo os resultados:
1 - 1 = 0

Resposta

A integral dupla integral duplaR sin(x - y) , dA vale 0.

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