Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. A integral dupla calcula o volume sob a superfície definida por sobre a região no plano . No nosso caso, .
Passo 3
Como a região é retangular, podemos escrever a integral dupla como uma iterativa, ou seja, uma integral em relação a e outra em relação a . Assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a . A integral interna fica:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então . Quando , , e quando , .
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Lembrando que cos(-y) = cos(y) e cos(pi2 - y) = sin(y), então:
-sin(y) + cos(y)
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. Ficamos com:
integral0^pi2 ( cos(y) - sin(y) ) dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^pi2 cos(y) , dy - integral0^pi2 sin(y) , dy
Passo 7
Calculando cada uma das integrais:
integral cos(y) , dy = sin(y) + C
integral sin(y) , dy = -cos(y) + C
Aplicando os limites de integração:
sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
- cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1
Passo 8
Substituindo os resultados:
1 - 1 = 0
Resposta
A integral dupla integral duplaR sin(x - y) , dA vale 0.