Encontrar e representar graficamente o domínio da função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
e também representar esse domínio graficamente. Isso envolve conceitos de funções multivariadas, logaritmos e restrições de domínio. Para resolver, vamos precisar entender onde a função está definida, ou seja, para quais valores de
e
a função existe.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da função:
. A gente sabe que não pode dividir por zero, então precisamos que
. Isso significa que:
Então, já sabemos que
não pode ser igual a 3.
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador:
. O logaritmo natural só está definido para números positivos. Ou seja, o argumento do logaritmo, que é
, precisa ser maior que zero:
Então, temos que
deve ser maior que zero para que o logaritmo exista.
Passo 4
Resumindo os dois pontos que encontramos:
Essas são as condições que definem o domínio da função
.
Passo 5
Agora, vamos representar isso graficamente. Para
, podemos reescrever a inequação como
. Isso significa que no plano
, a região onde
está acima da linha reta
é válida.
Além disso,
significa que a linha vertical
não está incluída no domínio. Então, vamos desenhar a linha
e sombrear a região acima dela, exceto na linha vertical
.
Passo 6
Aqui está a representação gráfica do domínio:
(Nota: Como não posso gerar imagens, imagine o plano
com a linha
e a região acima sombreada, excluindo a linha vertical em
.)
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
. Graficamente, é a região acima da linha
no plano
, excluindo a linha vertical
.