Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho. Uma lâmina ocupa parte do disco r = acos(theta), 0 <= theta <= pi / 2. Determine a massa e o centro de massa se a densidade de massa em qualquer ponto for proporcional à distância a origem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma lâmina que ocupa parte de um disco definido pela equação onde . A densidade dessa lâmina, , é proporcional à distância da origem, ou seja, , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a massa total dessa lâmina e o centro de massa dela, que são os pontos médios ponderados pelas densidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da lâmina. A massa ( ) pode ser encontrada integrando a densidade sobre a área da região . Em coordenadas polares, a integral para a massa fica assim:
Como e , substituindo na integral temos:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a massa fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Essa integral não tem uma solução elementar simples, então podemos assumir que, para fins de exercício, a constante e os limites permitem simplificações ou uso de métodos numéricos. Porém, vamos deixar a massa expressa dessa forma para continuar com o cálculo do centro de massa.

Passo 5

Para encontrar o centro de massa ( ), usamos as fórmulas:
Em coordenadas polares, e , então substituindo:

Passo 6

Resolvendo as integrais internas:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A massa da lâmina é dada por:
E o centro de massa está nas coordenadas :
Para obter valores numéricos, seria necessário avaliar essas integrais, possivelmente utilizando métodos numéricos ou software de cálculo.

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