Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superficie
acima da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies. Aqui, a superfície é dada por
e a base é a região delimitada pelas curvas
e
. Vamos precisar entender como montar os limites de integração e depois calcular a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região na base. Temos
e
. Para saber onde elas se cruzam, igualamos as duas equações:
Isso nos dá
e
. Então, a região de integração em
vai de 0 a 1.
Passo 3
Agora, para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até
. Esses serão nossos limites de integração para
. Então, a integral dupla para o volume
fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Isso é igual a:
Substituindo os limites:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 7
Vamos simplificar os termos:
Resposta
O volume do sólido é
.