Determine o volume do sólido dado. Abaixo da superficie z = 2x + y^2 e acima da região limitada por x = y^2 e x = y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido. A gente vai trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies. Aqui, a superfície é dada por e a base é a região delimitada pelas curvas e . Vamos precisar entender como montar os limites de integração e depois calcular a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que delimitam a região na base. Temos e . Para saber onde elas se cruzam, igualamos as duas equações:
Isso nos dá e . Então, a região de integração em vai de 0 a 1.

Passo 3

Agora, para cada valor de entre 0 e 1, varia de até . Esses serão nossos limites de integração para . Então, a integral dupla para o volume fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Isso é igual a:
Substituindo os limites:

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 6

Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 7

Vamos simplificar os termos:

Resposta

O volume do sólido é .

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