Calcule a integral dupla.
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
, onde a região
é o retângulo
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vamos precisar integrar a função
primeiro em uma das variáveis e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Isso significa que
varia de
a
e, para cada valor de
,
varia de
a
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos
e
.
Passo 4
Calculando
e
:
Integrando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Resolvendo a segunda integral:
Então,
Passo 7
Avaliaremos essa expressão de
a
:
Calculando em
:
E em
:
Então, a integral interna fica:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 9
Essas integrais não possuem soluções em termos de funções elementares, mas podemos expressá-las usando funções especiais ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos deixar a resposta em termos dessas integrais, já que não há uma forma simples de resolver analiticamente.
Resposta
A integral dupla é igual a
Exercícios relacionados
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
y no ponto
.
Se a,b e c são vetores constantes em
é o vetor posição
e
é o sólido dado pelas inequações
, em que
e
são números reais positivos fixados, mostre que
Sugestão: Use a mudança de variáveis
e
.
Faça um resumo sobre a teoria da integral de linha e sobre os teoremas da Gauss da divergência e de Stokes do rotacional.
Seja uma função
ao conjunto
, dada por
Pede-se:
c) (10 pontos). Calcule a integral tripla de em coordenadas esféricas considerando o domínio Q dado por
.
c) (10 pontos). Calcule a integral tripla de