Calcule a integral dupla. , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla , onde a região é o retângulo . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vamos precisar integrar a função primeiro em uma das variáveis e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Isso significa que varia de a e, para cada valor de , varia de a . Então, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos e .

Passo 4

Calculando e :
Integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Resolvendo a segunda integral:
Então,

Passo 7

Avaliaremos essa expressão de a :
Calculando em :
E em :
Então, a integral interna fica:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 9

Essas integrais não possuem soluções em termos de funções elementares, mas podemos expressá-las usando funções especiais ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos deixar a resposta em termos dessas integrais, já que não há uma forma simples de resolver analiticamente.

Resposta

A integral dupla é igual a

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