Calcule a integral dupla. integral duplaR y sin (x y) d A, onde R=[1,2] times[0, pi].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaR y sin(x y) , dA, onde a região R é o retângulo [1,2] times [0, pi]. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Vamos precisar integrar a função y sin(x y) primeiro em uma das variáveis e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração R = [1,2] times [0, pi]. Isso significa que x varia de 1 a 2 e, para cada valor de x, y varia de 0 a pi. Então, podemos escrever a integral dupla como uma iterada:
integralx=1^2 ( integraly=0^pi y sin(x y) , dy ) dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integral0^pi y sin(x y) , dy
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos u = y e dv = sin(x y) , dy.

Passo 4

Calculando du e v:
du = dy
Integrando dv:
v = integral sin(x y) , dy = -1x cos(x y)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du:
integral y sin(x y) , dy = -yx cos(x y) + 1x integral cos(x y) , dy

Passo 6

Resolvendo a segunda integral:
integral cos(x y) , dy = 1x sin(x y)
Então,
integral y sin(x y) , dy = -yx cos(x y) + 1x^2 sin(x y)

Passo 7

Avaliaremos essa expressão de 0 a pi:
[ -yx cos(x y) + 1x^2 sin(x y) ]0^pi
Calculando em y = pi:
-pix cos(x pi) + 1x^2 sin(x pi)
E em y = 0:
0 + 0 = 0
Então, a integral interna fica:
-pix cos(x pi) + 1x^2 sin(x pi)

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral1^2 ( -pix cos(x pi) + 1x^2 sin(x pi) ) dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
-pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sin(x pi)x^2 , dx

Passo 9

Essas integrais não possuem soluções em termos de funções elementares, mas podemos expressá-las usando funções especiais ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos deixar a resposta em termos dessas integrais, já que não há uma forma simples de resolver analiticamente.

Resposta

A integral dupla é igual a
-pi integral1^2 cos(x pi)x , dx + integral1^2 sin(x pi)x^2 , dx

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