Se a,b e c são vetores constantes em R^3, r é o vetor posição x i+y j+ z k e E é o sólido dado pelas inequações 0 <= a cdot r <= alpha, 0 <= b cdot r <= beta, 0 <= c cdot r <= gamma, em que alpha, beta e gamma são números reais positivos fixados, mostre que
integral triplaE(a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) d V=(alpha beta gamma)^28|a cdot(b times c)|
Sugestão: Use a mudança de variáveis u=a cdot r, v=b cdot r e w=c cdot r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido definido por algumas inequações envolvendo vetores constantes , e em . O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar mudança de variáveis e entender como calcular o determinante jacobiano nessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o sólido 0 <= a cdot r <= alpha, 0 <= b cdot r <= beta, 0 <= c cdot r <= gamma . Ele é definido pelas seguintes inequações:
Aqui, é o vetor posição. Essas inequações definem um paralelepípedo no espaço tridimensional alinhado com os vetores , e .

Passo 3

A sugestão do enunciado é usar a mudança de variáveis:
u = a cdot r, v = b cdot r, w = c cdot r
Essa transformação simplifica as inequações que definem , tornando os limites da integral de entre 0 e respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano J = | partial(x,y,z)partial(u,v,w) | é dado por:
J = 1|a cdot (b times c)|
Para encontrar , primeiro expressamos em termos de . Como são combinações lineares de , podemos escrever isso como um sistema linear e encontrar o determinante como o inverso do determinante do sistema original.
O determinante do sistema original é , que é o volume do paralelepípedo formado por , e . Portanto, o jacobiano é:

Passo 5

Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, nossa integral tripla fica:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) , dV = integral triplaE' u v w cdot J , du, dv, dw
Onde é o paralelepípedo nas novas coordenadas, com , e .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral na nova coordenada:
integral triplaE' u v w cdot J , du, dv, dw = J integral0^alpha u , du integral0^beta v , dv integral0^gamma w , dw
Calculando cada integral:
integral0^alpha u , du = alpha^22, integral0^beta v , dv = beta^22, integral0^gamma w , dw = gamma^22
Multiplicando tudo:
J cdot alpha^22 cdot beta^22 cdot gamma^22 = J cdot (alpha beta gamma)^28

Passo 7

Substituindo o valor de J cdot (alpha beta gamma)^28 = (alpha beta gamma)^28 |a cdot (b times c)| :

Resposta

Portanto, a integral tripla é igual a:
integral triplaE (a cdot r)(b cdot r)(c cdot r) , dV = (alpha beta gamma)^28|a cdot(b times c)|

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