Se a,b e c são vetores constantes em é o vetor posição e é o sólido dado pelas inequações , em que e são números reais positivos fixados, mostre que
Sugestão: Use a mudança de variáveis e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla sobre um sólido definido por algumas inequações envolvendo vetores constantes , e em . O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial e integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar usar mudança de variáveis e entender como calcular o determinante jacobiano nessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o sólido . Ele é definido pelas seguintes inequações:
Aqui, é o vetor posição. Essas inequações definem um paralelepípedo no espaço tridimensional alinhado com os vetores , e .
Passo 3
A sugestão do enunciado é usar a mudança de variáveis:
Essa transformação simplifica as inequações que definem , tornando os limites da integral de entre 0 e respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é dado por:
Para encontrar , primeiro expressamos em termos de . Como são combinações lineares de , podemos escrever isso como um sistema linear e encontrar o determinante como o inverso do determinante do sistema original.
O determinante do sistema original é , que é o volume do paralelepípedo formado por , e . Portanto, o jacobiano é:
Passo 5
Com a mudança de variáveis e o jacobiano calculado, nossa integral tripla fica:
Onde é o paralelepípedo nas novas coordenadas, com , e .
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral na nova coordenada: