Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto.
y no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função
é diferenciável no ponto
. Depois, precisamos encontrar a linearização
dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade, derivadas parciais e como construir a linearização de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto
. Uma função de duas variáveis é diferenciável nesse ponto se todas as suas derivadas parciais existirem e forem contínuas próximas a esse ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 3
Calculemos a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Ambas as derivadas existem para todo
e
, e são contínuas em todo o domínio da função. Portanto,
é diferenciável no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos construir a linearização
da função no ponto
. A fórmula da linearização para uma função de duas variáveis é:
Onde
é o ponto de expansão, que no nosso caso é
.
Passo 5
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
(já que ) -
-
Substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Resposta
A linearização da função
no ponto
é: