Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização da função no ponto. y no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função é diferenciável no ponto . Depois, precisamos encontrar a linearização dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diferenciabilidade, derivadas parciais e como construir a linearização de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto . Uma função de duas variáveis é diferenciável nesse ponto se todas as suas derivadas parciais existirem e forem contínuas próximas a esse ponto. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Calculemos a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Ambas as derivadas existem para todo e , e são contínuas em todo o domínio da função. Portanto, é diferenciável no ponto .

Passo 4

Agora, vamos construir a linearização da função no ponto . A fórmula da linearização para uma função de duas variáveis é:
Onde é o ponto de expansão, que no nosso caso é .

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • (já que )
Substituindo esses valores na fórmula da linearização:

Resposta

A linearização da função no ponto é:

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