Calcule a integral dupla:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais duplas, especificamente a técnica de integrações iteradas. Precisaremos lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos integrar em relação a
primeiro e depois a
, ou vice-versa. Neste caso, vamos optar por integrar primeiro em relação a
.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
. A função a ser integrada é
, onde
é tratado como constante em relação a
.
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Multiplicando pela constante
que estava na frente:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar a integral em duas partes:
Integrando cada parte:
Resposta
A integral dupla é igual a
.