Calcule a integral dupla:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais duplas, especificamente a técnica de integrações iteradas. Precisaremos lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos integrar em relação a primeiro e depois a , ou vice-versa. Neste caso, vamos optar por integrar primeiro em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a . A função a ser integrada é , onde é tratado como constante em relação a .
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Multiplicando pela constante que estava na frente:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos separar a integral em duas partes:
Integrando cada parte:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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(a) No ponto determine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
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© Determine , onde é o versor de .