Calcule a integral dupla: integral duplaR x e^x y d A ; R=(x, y) ; 1 <= x <= 3 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais duplas, especificamente a técnica de integrações iteradas. Precisaremos lembrar como integrar funções exponenciais e aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos integrar em relação a integral duplaR x e^x y , dA = integralx=1^3 ( integraly=0^1 x e^x y , dy ) dx primeiro e depois a , ou vice-versa. Neste caso, vamos optar por integrar primeiro em relação a .

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 x e^x y , dy . A função a ser integrada é integral e^u cdot dux = 1x e^u + C = 1x e^x y + C , onde x cdot ( 1x e^x y ) = e^x y é tratado como constante em relação a e^x cdot 1 - e^x cdot 0 = e^x - 1 .
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:
Multiplicando pela constante que estava na frente:
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^3 ( e^x - 1 ) dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral1^3 e^x , dx - integral1^3 1 , dx
Integrando cada parte:
[ e^x ]1^3 - [ x ]1^3 = (e^3 - e^1) - (3 - 1) = e^3 - e - 2

Resposta

A integral dupla é igual a .

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