Admita que representa uma distribuição de temperatura no plano .
(a) No ponto determine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
(b) Qual é a taxa de crescimento nesta direçåo?
© Determine , onde é o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa a distribuição de temperatura no plano. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivadas direcionais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar encontrar derivadas parciais de em relação a e , o gradiente da função, e depois aplicar esses conceitos para cada pergunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Isso vai nos ajudar a encontrar o gradiente, que é o vetor das derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento da função.
A derivada parcial de em relação a é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Derivando termo a termo:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular o gradiente de no ponto . O gradiente é o vetor das derivadas parciais em relação a e :
Primeiro, substituímos e nas derivadas:
Para :
Para :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

(a) A direção de maior crescimento da temperatura é dada pelo gradiente da função. Então, o vetor com direção e sentido de maior crescimento em é .

Passo 6

(b) A taxa de crescimento nesta direção é o comprimento do gradiente, também conhecido como a norma do vetor gradiente. Calculamos assim:
Então, a taxa de crescimento é aproximadamente 13,45 unidades de temperatura por unidade de distância.

Passo 7

© Para encontrar , onde é o versor de , primeiro precisamos normalizar para obter :
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o versor:

Resposta

(a) O vetor de maior crescimento em é .
(b) A taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente .
© A derivada direcional é .

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Encontre a derivada da funç pre que possível.
Calcule a integral dupla:
Encontre a derivada da funç pre que possível.
Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e esboce tal domínio no plano :