Admita que T(x, y)=2 x y+(x y-x)^2-y^3 representa uma distribuição de temperatura no plano 2 y.
(a) No ponto (-1,-1) determine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
(b) Qual é a taxa de crescimento nesta direçåo?
© Determine partial Tpartial u(-1,-1), onde u é o versor de v=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que representa a distribuição de temperatura no plano. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivadas direcionais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar encontrar derivadas parciais de em relação a e , o gradiente da função, e depois aplicar esses conceitos para cada pergunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial Tpartial x = partialpartial x(2xy + (xy - x)^2 - y^3) em relação a partialpartial x(2xy) = 2y e partialpartial x((xy - x)^2) = 2(xy - x)(y - 1) . Isso vai nos ajudar a encontrar o gradiente, que é o vetor das derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento da função.
A derivada parcial de partialpartial x(-y^3) = 0 em relação a partial Tpartial x = 2y + 2(xy - x)(y - 1) é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, a derivada parcial de partial Tpartial y = partialpartial y(2xy + (xy - x)^2 - y^3) em relação a partialpartial y(2xy) = 2x :
partialpartial y((xy - x)^2) = 2(xy - x)(x)
Derivando termo a termo:
partialpartial y(-y^3) = -3y^2
partial Tpartial y = 2x + 2x(xy - x) - 3y^2
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular o gradiente de 2(-1) + 2[(-1)(-1) - (-1)]((-1) - 1) = -2 + 2[1 + 1](-2) = -2 + 2 cdot 2 cdot (-2) = -2 - 8 = -10 no ponto 2(-1) + 2(-1)[(-1)(-1) - (-1)] - 3(-1)^2 = -2 + 2(-1)(1 + 1) - 3 = -2 + 2(-1)(2) - 3 = -2 - 4 - 3 = -9 . O gradiente é o vetor das derivadas parciais em relação a nabla T(-1, -1) = (-10, -9) e :
Primeiro, substituímos e nas derivadas:
Para :
Para :
Então, o gradiente em é:

Passo 5

(a) A direção de maior crescimento da temperatura é dada pelo gradiente da função. Então, o vetor com direção e sentido de maior crescimento em é .

Passo 6

(b) A taxa de crescimento nesta direção é o comprimento do gradiente, também conhecido como a norma do vetor gradiente. Calculamos assim:
|nabla T| = raiz(-10)^2 + (-9)^2 = raiz100 + 81 = raiz181 approx 13,45
Então, a taxa de crescimento é aproximadamente 13,45 unidades de temperatura por unidade de distância.

Passo 7

© Para encontrar |v| = raiz0^2 + 2^2 = 2 , onde u = ( 02, 22 ) = (0, 1) é o versor de partial Tpartial u = nabla T cdot u = (-10, -9) cdot (0, 1) = (-10)(0) + (-9)(1) = -9 , primeiro precisamos normalizar para obter :
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o versor:

Resposta

(a) O vetor de maior crescimento em é .
(b) A taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente .
© A derivada direcional é .

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