Admita que
representa uma distribuição de temperatura no plano
.
(a) No ponto
determine o vetor que possui direçäo e sentido de maior crescimento da temperatura.
(b) Qual é a taxa de crescimento nesta direçåo?
© Determine
, onde
é o versor de
.
(a) No ponto
(b) Qual é a taxa de crescimento nesta direçåo?
© Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que representa a distribuição de temperatura no plano. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente gradiente e derivadas direcionais. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar encontrar derivadas parciais de
em relação a
e
, o gradiente da função, e depois aplicar esses conceitos para cada pergunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso vai nos ajudar a encontrar o gradiente, que é o vetor das derivadas parciais e indica a direção de maior crescimento da função.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Vamos derivar termo a termo:
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular o gradiente de
no ponto
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais em relação a
e
:
Primeiro, substituímos
e
nas derivadas:
Para
:
Para
:
Então, o gradiente em
é:
Passo 5
(a) A direção de maior crescimento da temperatura é dada pelo gradiente da função. Então, o vetor com direção e sentido de maior crescimento em
é
.
Passo 6
(b) A taxa de crescimento nesta direção é o comprimento do gradiente, também conhecido como a norma do vetor gradiente. Calculamos assim:
Então, a taxa de crescimento é aproximadamente 13,45 unidades de temperatura por unidade de distância.
Passo 7
© Para encontrar
, onde
é o versor de
, primeiro precisamos normalizar
para obter
:
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o versor:
Resposta
(a) O vetor de maior crescimento em
é
.
(b) A taxa de crescimento nessa direção é aproximadamente
.
© A derivada direcional
é
.
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: