(4,0) Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0 , com variação de pm 0,35. Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no tempo t, onde t é medido em dias, foi modelado pela função
B(t)=4,0+0,35 sen(2 pi t5,4)
(a) Encontre e a taxa de variação do brilho após t dias.
(b) Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a constelação Cefeu e, mais especificamente, sobre a estrela Delta Cefeu, que tem seu brilho variando com o tempo. A função que modela esse brilho é , onde é o tempo em dias. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a taxa de variação do brilho, ou seja, como o brilho muda ao longo do tempo.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação do brilho após dias, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá exatamente essa taxa de variação.

Passo 3

Vamos derivar ddt [ sin(2pi t5,4) ] = cos(2pi t5,4) cdot 2pi5,4 . Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de 4,0 é 0. Para a parte com o seno, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Aplicando isso na função B'(t) = 0 + 0,35 cdot cos(2pi t5,4) cdot 2pi5,4 , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos:
B'(t) = 0,35 cdot 2pi5,4 cos(2pi t5,4)

Passo 6

Para facilitar, podemos calcular o coeficiente:
0,35 cdot 2pi5,4 approx 0,7pi5,4 approx 2,1995,4 approx 0,407
Então,
B'(t) approx 0,407 cos(2pi t5,4)

Passo 7

Agora, para encontrar a taxa de crescimento após 1 dia, substituímos B'(1) approx 0,407 cos(2pi cdot 15,4) na expressão de :

Passo 8

Calculando o argumento do cosseno:
2pi5,4 approx 1,16355 radianos
Então,
B'(1) approx 0,407 cos(1,16355)

Passo 9

Calculando o cosseno:
cos(1,16355) approx 0,399
Portanto,
B'(1) approx 0,407 times 0,399 approx 0,162

Resposta

(a) A taxa de variação do brilho após dias é .
(b) A taxa de crescimento após 1 dia é aproximadamente .

Exercícios relacionados