Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0 , com variação de
. Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no tempo
, onde
é medido em dias, foi modelado pela função
(a) Encontre e a taxa de variação do brilho após
dias.
(b) Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.
(b) Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a constelação Cefeu e, mais especificamente, sobre a estrela Delta Cefeu, que tem seu brilho variando com o tempo. A função que modela esse brilho é
, onde
é o tempo em dias. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a taxa de variação do brilho, ou seja, como o brilho muda ao longo do tempo.
Passo 2
Para encontrar a taxa de variação do brilho após
dias, precisamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá exatamente essa taxa de variação.
Passo 3
Vamos derivar
. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de 4,0 é 0. Para a parte com o seno, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Aplicando isso na função
, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, obtemos:
Passo 6
Para facilitar, podemos calcular o coeficiente:
Então,
Passo 7
Agora, para encontrar a taxa de crescimento após 1 dia, substituímos
na expressão de
:
Passo 8
Calculando o argumento do cosseno:
Então,
Passo 9
Calculando o cosseno:
Portanto,
Resposta
(a) A taxa de variação do brilho após
dias é
.
(b) A taxa de crescimento após 1 dia é aproximadamente
.