Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu, para a qual o intervalo de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é de 4,0 , com variação de . Em vista desses dados, o brilho de Delta Cefeu no tempo , onde é medido em dias, foi modelado pela função
(a) Encontre e a taxa de variação do brilho após dias.
(b) Encontre, com precisão até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a constelação Cefeu e, mais especificamente, sobre a estrela Delta Cefeu, que tem seu brilho variando com o tempo. A função que modela esse brilho é , onde é o tempo em dias. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve derivadas, já que queremos encontrar a taxa de variação do brilho, ou seja, como o brilho muda ao longo do tempo.

Passo 2

Para encontrar a taxa de variação do brilho após dias, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos dá exatamente essa taxa de variação.

Passo 3

Vamos derivar . Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de 4,0 é 0. Para a parte com o seno, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Aplicando isso na função , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, obtemos:

Passo 6

Para facilitar, podemos calcular o coeficiente:
Então,

Passo 7

Agora, para encontrar a taxa de crescimento após 1 dia, substituímos na expressão de :

Passo 8

Calculando o argumento do cosseno:
Então,

Passo 9

Calculando o cosseno:
Portanto,

Resposta

(a) A taxa de variação do brilho após dias é .
(b) A taxa de crescimento após 1 dia é aproximadamente .

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