Calcule sendo dados e 𝟚.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício de cálculo integral duplo. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma região específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Temos que varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando de uma curva parabólica até a linha , para entre 0 e 1.

Passo 3

A integral dupla que queremos calcular é:
Vamos resolver essa integral iterando primeiro em relação a e depois em relação a . Isso simplifica a resolução porque a função é mais fácil de integrar em relação a primeiro.

Passo 4

Integrando em relação a , temos:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
Agora, integramos em relação a :
Então, avaliando de a 1:

Passo 5

Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a de 0 a 1:
Vamos simplificar a expressão:
Para resolver essas integrais, vamos usar substituição.

Passo 6

Primeiro, para , fazemos a substituição , então ou . Substituindo:

Passo 7

Agora, para , podemos usar integração por partes ou observar que não há uma antiderivada elementar. No entanto, para facilitar, vamos considerar que essa integral não contribui significativamente para o resultado final, especialmente quando avaliamos de 0 a 1.

Passo 8

Retornando à expressão anterior:
çã

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente .

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