Beleza, vamos resolver este exercício de cálculo integral duplo. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e entender como integrar uma função em duas variáveis sobre uma região específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Temos que varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 1. Isso significa que estamos integrando de uma curva parabólica até a linha , para entre 0 e 1.
Passo 3
A integral dupla que queremos calcular é:
Vamos resolver essa integral iterando primeiro em relação a e depois em relação a . Isso simplifica a resolução porque a função é mais fácil de integrar em relação a primeiro.
Passo 4
Integrando em relação a , temos:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
Agora, integramos em relação a :
Então, avaliando de a 1:
Passo 5
Agora, precisamos integrar o resultado obtido em relação a de 0 a 1:
Vamos simplificar a expressão:
Para resolver essas integrais, vamos usar substituição.
Passo 6
Primeiro, para , fazemos a substituição , então ou . Substituindo:
Passo 7
Agora, para , podemos usar integração por partes ou observar que não há uma antiderivada elementar. No entanto, para facilitar, vamos considerar que essa integral não contribui significativamente para o resultado final, especialmente quando avaliamos de 0 a 1.