Calcule o volume do conjunto dado e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um conjunto de pontos
no espaço tridimensional que satisfazem duas condições:
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a primeira condição:
. Essa é a equação de uma elipse no plano
. Para visualizar melhor, podemos reescrever essa equação como:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento 2 (em
) e 1 (em
).
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda condição:
. Isso significa que, para cada ponto
dentro da elipse, a coordenada
varia de
até
. Ou seja, a “altura” em
é sempre 1 unidade.
Passo 4
Para encontrar o volume do conjunto, podemos pensar em “empilhar” camadas de altura 1 sobre cada ponto da elipse. Matemáticamente, isso se traduz em uma integral dupla sobre a região da elipse:
Como
, a integral simplifica para:
Passo 5
A integral dupla
representa a área da elipse. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Onde
e
são os semieixos da elipse. No nosso caso,
e
, então:
Resposta
O volume do conjunto é
unidades cúbicas.
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.
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sendo dados
e
.
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, onde
é a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
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sendo dados
e
.