Calcule o volume do conjunto dado e {(x, y, z) em R^3 : x^2 + 4y^2 <= 4}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfazem duas condições: e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira condição: . Essa é a equação de uma elipse no plano . Para visualizar melhor, podemos reescrever essa equação como:
Isso mostra que a elipse tem semieixos de comprimento 2 (em ) e 1 (em ).

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda condição: . Isso significa que, para cada ponto dentro da elipse, a coordenada varia de até . Ou seja, a “altura” em é sempre 1 unidade.

Passo 4

Para encontrar o volume do conjunto, podemos pensar em “empilhar” camadas de altura 1 sobre cada ponto da elipse. Matemáticamente, isso se traduz em uma integral dupla sobre a região da elipse:
Como , a integral simplifica para:

Passo 5

A integral dupla representa a área da elipse. Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Á
Onde e são os semieixos da elipse. No nosso caso, e , então:
Á

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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